《無窮維動力系統中Bourgain猜測的證明及其套用》是依託鄭州大學，由閆東風擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：無窮維動力系統中Bourgain猜測的證明及其套用
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：閆東風
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
哈密頓偏微分方程廣泛存在於流體力學及量子力學等領域中，對其擬周期解的研究一直是動力系統中的熱點。眾所周知，在研究哈密頓偏微分方程的擬周期解時，參數發揮著至關重要的作用。從需要最少參數的角度看，Bourgain及Eliasson研究有限維哈密頓系統中切頻沿給定方向的不變環面的工作頗具價值，隨後Bourgain猜測這一結果可以推廣到無窮維哈密頓系統中。在有界擾動下，Bourgain猜測已被Berti證明。本課題致力於研究無界擾動下的無界擾動下無窮維系統中的Bourgain猜測。具體包括:(1)帶無界擾動的無窮維哈密頓系統中最終切頻沿給定方向的KAM定理;(2)將上述KAM定理套用到KdV方程、非線性項帶導數的Schrodinger方程，分別得到它們切頻沿給定方向的不變環面及相應的擬周期解;(3)將前兩步的結果類推到無窮維反轉系統中。本課題將為研究無窮維系統的動力學行為提供完善的理論支持。
結題摘要
對Hamilton系統穩定性的研究一直是動力系統領域關心的重點，近年來，隨著研究穩定性的重要工具——KAM理論在無窮維系統中的發展，人們轉而研究可化為無窮維哈密頓系統的偏微分方程的動力學行為，這其中對於哈密頓偏微分方程擬周期解的存在性研究是一大熱點。本課題擬致力於研究帶無界擾動的無窮維系統中的Bourgain猜測，即，研究帶無界擾動的無窮維哈密頓系統中切頻沿給定方向的KAM定理，並藉此套用到非線性項帶導數的KdV方程等，研究其不變環面及相應的擬周期解的存在性。本課題的開展將為進一步理解無窮維系統，特別是哈密頓偏微分方程的動力學行為提供更多的理論支持。 在2016年，共完成並發表相關論文一篇： Siqi Xu, Dongfeng Yan(通訊作者), Smooth quasi-periodic solutions for the perturbed mKdV equation, Communications on pure and applied analysis 15(5),2016:1857-1869
