無界函式

無界函式即不是有界函式的函式。也就是說，函式y=f(x)在定義域上只有上界(或只有下界)；或者既沒有上界又沒有下界，稱f(x)在定義域上無界，在定義域無界的函式稱為無界函式 。

基本介紹

• 中文名：無界函式
• 外文名：unbounded function
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：函式
• 相關概念：定義域、值域、有界、無界等

定義

定義1 設函式的定義域為D，若存在一個常數M(L)，使得，都有

則稱為D內有上(下)界的函式，數M(L)稱為在D內的一個上(下)界。

定義2 設函式若存在一個正數K>0，使得，都有

則稱在D內是有界函式；否則，稱為無界函式。

有界函式的等價定義是：若在D內既有上界又有下界，則稱在D內是有界函式。

在D內有界若且唯若數集是有界集，即

其中M，L為常數，分別稱為的一個上界和一個下界。

無界的正面描述是：

是無界函式若且唯若，使得。

有界函式的幾何意義：

若函式為有界函式，則的圖像

完全落在直線y=M和y=-M之間。

注意： 函式的有界性與函式自變數x的取值範圍有關，如：y=x，在R內無界，但在任何有限區間內都有界。

舉例說明

有界函式的圖形必介於兩條平行於x軸的直線y=-M和y=M之間（當自變數為x時），籠統地說某個函式是有界函式或無界函式是不確切的，必須指明所考慮的區間。

例如，函式在內是有界的，因為對任意，存在M=1，使得恆成立。

函式在開區間上是無界的。

函式在開區間(0，1)內是無界的，而函式在區間[1，2]內是有界的。

函式是有界函式，因為在其定義域內恆有。