灰色聚類評估是利用灰色聚類評估模型對集合對象進行聚類的過程。按聚類對象劃分，灰色聚類評估模型可分為灰色關聯聚類和基於可能度函式的灰色聚類，基於可能度函式的灰色聚類模型又包括灰色變權聚類評估模型、灰色定權聚類評估模型、基於混合可能度函式的灰色聚類評估模型。
基本介紹
- 中文名：灰色聚類評估
- 外文名：Grey Cluster Assessment
- 適用領域：灰色系統理論
定義,
定義
一、灰色關聯聚類模型
灰色關聯聚類主要用於同類因素的歸併，以使複雜系統簡化。通過灰色關聯聚類，我們可以考察許多因素中是否有若干個因素大體上屬於同一類，使我們能使用這些因素的綜合平均指標或其中的某一個因素來代表這若干個因素而使信息不受嚴重損失。這屬於系統變數的刪減問題。在進行大面積調研之前,通過典型抽樣數據的灰色關聯聚類，可以減少不必要數據的蒐集，節省時間和經費。灰色關聯聚類模型的評估過程如下：
第一步：計算特徵變數關聯矩陣A。
定義1：設有n個檢測對象，每個對象觀測有m個特徵數據，得到如下序列：
，
，...，
，對所有的i≤j，i,j=1,2,…,m，計算出Xi與Xj的灰色絕對關聯度εij，得上三角矩陣:
，其中，εii=1，i=1,2,…,m。稱矩陣A為特徵變數關聯矩陣。
第二步：對指標進行聚類。取定臨界值r∈[0,1]，一般要求r>0.5，當εij≥r(i≠j)時， 則視Xi與Xj為同類特徵。
定義2：特徵變數在臨界值r下的分類稱為特徵變數的r灰色關聯聚類。r可根據實際問題的需要確定，r越接近於1，分類越細，每一組分中的變數相對地越少；r越小，分類越粗，這時每一組分中的變數相對地越多。
第三步：取標號最小的指標作為各類的代表，並將同類指標進行歸併，完成聚類。
二、基於可能度函式的灰色聚類模型
1.灰色變權聚類評估模型
第一步：根據對象i(i=1,2,…,n)關於指標j(j=1,2,…,m)的觀測值xij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)，計算各聚類指標的可能度函式。
第二步：由各聚類指標的可能度函式計算
，得到j指標關於灰類k的基本值
。
定義1：（1）對於典型可能度函式，令
；
（2）對於下限測度可能度函式，令
；
（3）對於適中可能度函式上限測度可能度函式，令
；
則稱為j指標關於灰類k的基本值。
第三步：計算j指標關於灰類k的權
。
定義2：設為j指標關於灰類k的基本值，則稱
為j指標關於灰類k的權。
第四步：計算對象i屬於灰類k的灰色變權聚類係數
。
定義3：設xij為對象i關於指標j的觀測值，
為j指標關於灰類k的可能度函式，為j指標關於灰類k的權,則稱
為對象i屬於灰類k的灰色變權聚類係數。
第五步：綜合以上結果，可得灰色聚類係數矩陣∑。
定義4：（1）稱
為對象i的聚類係數向量。
（2）稱
為聚類係數矩陣。
第六步：計算
，判斷對象i所屬的灰類k*。
定義5：設
，則稱對象i屬於灰類k*。
灰色變權聚類適用於指標的意義、量綱皆相同的情形，當聚類指標的意義、量綱不同且不同指標的樣本值在數量上差異懸殊時，不宜採用灰色變權聚類模型。
2.灰色定權聚類評估模型
根據灰色定權聚類係數的值對聚類對象進行歸類，稱為灰色定權聚類。
定義1：設xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)為對象i關於指標j的觀測值，(j=1,2,…,m;k=1,2,…,s)為j指標關於灰類k的可能度函式。若j指標關於灰類k的權(j=1,2,…,m;k=1,2,…,s)與k無關，即對任意的k1,k2∈{1,2,…,s}，恆有
，此時我們可將的上標k略去，記為
(j=1,2,…,m)，並稱
為對象i屬於灰類k的灰色定權聚類係數。
灰色定權聚類可按下列步驟進行。
第一步：設定j指標關於灰類k的可能度函式(j=1,2,…,m;k=1,2,…,s)。
第二步：確定各指標的聚類權(j=1,2,…,m)。
第三步：由第一步和第二步得到的可能度函式(j=1,2,…,m;k=1,2,…,s)，聚類權(j=1,2,…,m)以及對象i關於指標j的觀測值xij (i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)，計算出灰色定權聚類係數
，i=1,2,…,n;k=1,2,…,s。
第四步：若，則判定對象i屬於灰類k。
3.基於混合可能度函式的灰色聚類評估模型
本部分分別介紹基於端點混合可能度函式和基於中心點混合可能度函式的灰色聚類評估模型。兩類評估模型均以適中測度可能度函式、下限測度可能度函式、上限測度可能度函式三類常用可能度函式為基礎。
本部分介紹的基於端點混合可能度函式和基於中心點混合可能度函式的灰色聚類評估模型均在原基於端點和中心點可能度函式的灰色聚類評估模型基礎上作了如下改進：一是避免了灰類多重交叉的問題；二是避免了對聚類指標取值範圍兩端點進行延拓的困擾；三是讀者可以根據其對灰類的認知選擇端點或中心點混合可能度函式。
3.1基於端點混合可能度函式的灰色聚類評估模型
基於端點混合可能度函式的灰色聚類評估模型適用於各灰類邊界清晰，但最可能屬於各灰類的點不明的情形，其建模步驟如下。
第一步：按照評估要求所需劃分的灰類數s ，將各個指標的取值範圍也相應地劃分為s個灰類。例如,將j指標的取值範圍[a1,as+1]劃分為s個小區間[a1,a2],…,[ak-1,ak],…, [as-1,as], [as,as+1]，其中ak(k=1,2…,s,s+1)的值一般可根據實際評估要求或定性研究結果確定。
第二步：確定與[a1,a2]和[as,as+1]對應的灰類1和灰類s的轉折點
，
；同時計算其餘各個小區間的幾何中點，
，k= 1,2,…,s。
第三步：對於灰類1和灰類s，構造相應的下限測度可能度函式
和上限測度可能度函式
。
設x為指標j的一個觀測值,當
或
時，可分別由公式
或
計算出其屬於灰類1和灰類s的可能度值
或
。
第四步：對於灰類k(k∈{2,3,…,s-1})，同時連線點(,1)與灰類k-1的幾何中點(
,0)(或灰類1的轉折點(,0))以及(,1)與灰類k+1的幾何中點(
,0)(或灰類s的轉折點(,0))，得到j指標關於灰類k的三角可能度函式
，j=1,2,…,m;k=2,3,…,s-1。
對於指標j的一個觀測值x，可由式
計算出其屬於灰類k(k=1,2,…,s)的可能值。
第五步：確定各指標的權重wj，j =1,2,…,m。
第六步：計算對象i(i=1,2…,n)關於灰類k(k=1,2,…,s)的綜合聚類係數
:
，其中
作為j指標k子類可能度函式，wj為指標j在綜合聚類中的權重。
第七步：由，判斷對象i屬於灰類k*；當有多個對象同屬於k*灰類時，還可以進一步根據綜合聚類係數的大小確定同屬於k灰類之各個對象的優劣或位次。
3.2基於中心點混合可能度函式的灰色聚類評估模型
基於中心點混合可能度函式的灰色聚類評估模型適用於較易判斷最可能屬於各灰類的點，但各灰類邊界不清晰的情形，某灰類的中心點指屬於該灰類程度最大的點。其建模步驟如下。
第一步：對於指標j,設其取值範圍為[aj,bj]。按照評估要求所需劃分的灰類數s ,分別確定灰類1、灰類s的轉折點、，和灰類k(k∈{2,3,…,s-1})的中心點
,
,…,
。
第二步：對於灰類1和灰類s，構造相應的下限測度可能度函式和上限測度可能度函式。
設x為指標j的一個觀測值,當x∈[aj,]或x∈[,bj]時，可分別由公式
或
計算出其屬於灰類1和灰類s的可能度值或。
第三步：對於灰類k(k∈{2,3,…,s-1})，同時連線點(,1)與灰類k-1的中心點(,0)(或灰類1的轉折點(,0))以及(,1)與灰類k+1的中心點(,0)(或灰類s的轉折點(,0))，得到j指標關於灰類k的三角可能度函式，j=1,2,…,m;k=2,3,…,s-1。
對於指標j的一個觀測值x,當k=2,3,…,s-1時,可由計算出其屬於灰類k(k∈{2,3,…,s-1})的可能度值。
第四步:確定各指標的權重wj，j = 1,2,…,m。
第五步:計算對象i(i=1,2,…,n)關於灰類k(k=1,2,…,s)的聚類係數:，其中為j指標關於k子類可能度函式, wj為指標j在綜合聚類中的權重。
第六步:由,判斷對象i屬於灰類k*；當有多個對象同屬於k*灰類時，還可以進一步根據綜合聚類係數的大小確定同屬於k灰類之各個對象的優劣或位次。
