基本介紹
- 中文名：漸進穩定狀態
- 外文名：Asymptotic stability
- 類別：智慧型系統
判據的懸浮控制系統穩定性分析,判定懸浮控制系統發生Hopf分岔的條件,數值分析,不確定隸屬函式模糊控制器設計與穩定分析,T-S模糊系統的穩定性分析,新結論,
判據的懸浮控制系統穩定性分析
在分析懸浮控制系統工作原理的基礎上，建立數學模型，分別取不同的反饋增益係數為分岔參數，通過Hurwitz判據判定懸浮控制系統發生Hopf分岔的條件，進而得到反饋增益係數取值與懸浮控制系統穩定性的關係。研究結果表明：①當參數kd、ki取值確定，kp為分岔參數，系統在臨界值時發生Hopf分岔；kp>kp0時，系統失穩；當kp<kp0時，系統進入漸進穩定狀態。②選取kd為分岔參數時，控制方向與kp的控制方向相反。研究為懸浮控制器的參數設計提供了一定的理論依據。
判定懸浮控制系統發生Hopf分岔的條件
磁懸浮列車因運行過程中沒有機械接觸磨損、低噪聲、零排放，是今後城市交通方式的發展趨勢之一。
懸浮控制系統是磁懸浮列車的核心部分，它存在著複雜的非線性現象。懸浮控制系統的穩定性直接影響著磁浮列車的安全性能與運行品質。採用微分方程對懸浮控制系統進行描述，用數值仿真的方法進行動力學分析是傳統並且成熟的研究方法。在研究動力系統穩定性的過程中，通常採用Hopf分岔方法。
在建立懸浮控制系統數學模型的基礎上，利用Hurwitz判據判定懸浮控制系統發生Hopf分岔的條件。
數值分析
方案一：取kp為分岔參數，取控制參數kd=50，ki=1，即無量綱化後kd=0.0997，ki=2.9725×10－4，經計算，得到無量綱化後的臨界值kp0=1.470744，並經過定理1驗證，此組數據符合條件，則反饋增益係數取kp=kp0=1.470744時，系統將發生Hopf分岔。
利用龍格－庫塔法進行數值仿真。
當kp=kp0=1.470744時，得到系統動態回響可以看出：kp取臨界值kp0=1.470744時，系統發生Hopf分岔。
當取kp=1.4725>kp0，得到系統動態回響可以看出：kp在臨界值kp0附近取值，且kp大於kp0時，懸浮模組與車體的振幅不斷增大，系統失穩。
當取kp=1．46<kp0，得到系統動態回響可以看出：kp小於 臨 界 值kp0時，系統將進入漸進穩定狀態。
方案 二：取kd為分岔參數，取控制參數kp =4500，ki=1，即無量綱化後kp=1.337689，ki=2.9725×10－4，代入後計算，最終得到無量綱化後的臨界值kd0=0.0519。
利用龍格 －庫塔法進行數值仿真。
當取kd=kd0=0.0519時，得到系統動態回響可以看出：kd取臨界值，kd0=0.0519時，系統發生Hopf分岔。
當取kd=0.0535>kd0，得到系統動態回響可以看出：kd大於kd0時，系統漸進穩定。
當取kd=0.0510<kd0，得到系統動態回響可以看出，當反饋增益參數kd在kd0附近取值，且小於kd0時，懸浮模組與車體振幅不斷增大，系統失穩。
不確定隸屬函式模糊控制器設計與穩定分析
針對許多非線性系統存在的結構不確定和難以用精確數學模型表達等問題，在研究基本Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型的基礎上，通過增加一個隸屬函式自由變數，利用線性矩陣不等式(LMI)設計了一個使得閉環系統漸進穩定的狀態反饋控制器，並給出穩定條件。所得到的條件充分利用了前件變數隸屬函式的結構信息和後件局部子系統之間的相互關係，降低了常規T-S模糊系統的穩定性條件的保守性和求解難度。通過仿真實例驗證了該方法的可行性和有效性。
T-S模糊系統的穩定性分析
早期的T-S模糊系統的穩定性分析是採用二次李亞普洛夫函式V(t)=x(t)TPx(t),P為正定矩陣。最初，Tanaka和他的合作者們通過離線地確定任意時刻所能產生作用的最大規則數以及解析地考慮各個模糊子系統之間的相互關係，套用二次李亞普洛夫函式在文獻中給出了T-S模糊系統穩定的充分條件。它要求所有的子系統有一個使系統局部穩定的公共的對稱正定矩陣，但該條件沒有考慮各個子系統之間的相互關係，是相當保守的。如果系統比較複雜，所要描述的子系統比較多，就很難找到一個滿足條件的公共矩陣。在文獻 [3]的基礎上，Kim等人在文獻中通過引進自由變數矩陣，將各個子系統相互關係表示為由子系統的係數矩陣組成的單獨矩陣，然後將這個矩陣引入到線性矩陣不等式中，從而獲得了放寬的穩定性充分條件。接著，Fang等人注意到在文獻中關於規則之間隸屬函式的乘積是二次的，而後在文獻中利用同一規則下隸屬度函式為1的特點，將二次變為三次，同時引入更多的變數矩陣，得到了比文獻更為放鬆的條件。
通過增加一個隸屬函式自由變數，並利用線性矩陣不等式(linearma-trixinequalities,LMI)設計了一個使得非線性系統漸進穩定的狀態反饋控制器，並對其穩定性進行了理論分析和仿真驗證。
新結論
對文獻結論的改進。整體思路與文獻是一致的，但是所得到的線性矩陣不等式與文獻所得到的線性矩陣不等式相比，降低了條件的保守性。該方法擴充了矩陣的調參範圍。文獻中提到的模糊模型與控制器都採用相同的前件變數，但是由於隸屬函式都是不確定的，如果模糊模型與控制器還採用相同的前件變數，將不能夠處理這類不確定隸屬函式的控制器的設計。因此，模糊模型與控制器採用不同的前件變數。通過增加一個隸屬函式自由變數，放寬了參數的範圍。由此得到定理。
定理1如果存在對稱矩陣Qij、Yijk,滿足線性矩陣不等式，則所設計的模糊控制器使得模糊系統能夠漸進穩定。
