漸近密切二次曲面

漸近密切二次曲面(asymptotic osculating quadric)亦稱主密切二次曲面。射影曲面論的重要元素之一。設Γ是曲面S上的曲線，從Γ每點引漸近曲線u=const的切線，得到直紋面Ru。從Γ每點引漸近曲線v=const的切線，得到直紋面Rv。

基本介紹

  • 外文名：asymptotic osculating quadric
  • 領域：數學
  • 別稱：主密切二次曲面
  • 學科：射影曲面論
  • 提出者：克羅布捷克和邦皮亞尼
概念,射影微分幾何,二次曲面,直紋面,

概念

漸近密切二次曲面(asymptotic osculating quadric)亦稱主密切二次曲面。射影曲面論的重要元素之一。設Γ是曲面S上的曲線，從Γ每點引漸近曲線u=const的切線，得到直紋面Ru。從Γ每點引漸近曲線v=const的切線，得到直紋面Rv。Ru和Rv稱為Γ的漸近直紋面。設O是Γ上任意一點，l是通過O屬於Rv的母線，做Rv沿l的密切二次曲面Q0v(由l及其鄰近的二母線決定的二次曲面)。類似地做密切二次曲面Q0u。Q0u和Q0v稱為Γ在O的漸近密切二次曲面.直紋面Rv的一族彎曲漸近曲線的每條切線與Rv相交於三重點，因此，從l每點引Rv的彎曲漸近曲線的切線，其軌跡就是Q0v。漸近密切二次曲面是由克羅布捷克(Kloboucek，J)和邦皮亞尼(Bompiani，E.)同時發現的。

射影微分幾何

微分幾何的一個分支。從屬於射影變換群的微分幾何。在達布(Darboux，(J.-)G.)的著名的曲面論中已含有它的萌芽，它主要是在20世紀初期按照克萊因(Klein，(C.)F.)的思想展開的，到20世紀40年代趨於完善。主要研究對象是曲線、曲面和共軛網等在射影變換群下的不變數、協變圖形及其性質。射影微分幾何的研究方法大致有下列三種：
第一種是以富比尼(Fubini，G.)為首的義大利學派的方法.以曲面論為例，設(x)=(x0，x1，x2，x3)是三維射影空間P中齊次坐標，x=x(u，v)是曲面S的參數表示.用一種射影不變的方法確定x的比例因子，得到富比尼規範坐標，構造二次和三次形式：
式中φ和普通曲面論中第二基本形式只相差一個因子。於是φ=0定義了曲面的兩族漸近曲線。ψ和φ滿足配極關係，ψ=0定義曲面的三族達布曲線。這兩個基本形式的係數滿足一系列關係式，即曲面的基本方程。同普通曲面論一樣，可導出射影曲面論的基本定理。
第二種是嘉當(Cartan，E.)的活動標架法。嘉當用活動標架法重建射影曲面論，問題歸結為普法夫方程組，可積條件即嘉當結構方程，從而導出許多結果.近年來，用嘉當方法發展起來高維射影空間共軛網理論。第三種是以蘇步青為首的中國學者開創和發展的結構式射影微分幾何方法，主要是用幾何作圖法來建立射影協變的構圖和不變數。例如用平面曲線在其某種奇點的不變數來表達其他的幾何不變數。

二次曲面

三維歐幾里得空間裡坐標x、y、z之間的二次方程ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy+2ux+2vy+2wz+d=0(係數a，b，c，…為實數，二次項係數不全為零)表示的曲面。早在公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德就寫過一本《論球和圓柱》的論著，從幾個定義和公理出發，推出關於球與圓柱的面積及體積等50多個命題。阿基米德、阿波羅尼奧斯、海倫等人還研究過拋物鏡面的反射問題，這是早期對一些特殊二次曲面的探討，其中被研究的還有雙葉雙曲面和橢球面，都是由圓錐截線繞軸旋轉產生的曲面。解析幾何建立後，二次曲面研究在理論上有較大進展。1731年法國數學家克萊羅給出某些二次曲面的求積公式，並指出x、y、z的齊次方程表示頂點在原點的一個錐面。1748年大數學家歐拉在他的《無窮分析引論》中研究了三個變數的一般二次方程，得到6種二次曲面：錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、雙曲拋物面以及拋物柱面，並主張按方程的次數將二次曲面進行分類，認為次數是線性變換下的不變數。1802年法國幾何學家蒙日及其學生證明了二次曲面的每一個平面截口是一條二次曲線，且平行截面截得的是相似的二次曲線。1832年瑞士數學家施泰納用射影幾何的方法構造了直紋二次曲面理論，到今天已日臻完善，成為解析幾何學的重要組成部分。

直紋面

由一族射影直線構成的曲面。具體地，在代數幾何中是指一個光滑射影曲面X，它具有一個虧格0的纖維化π：X→B，即到光滑曲線B上的滿態射，使得π的每條纖維都同構於射影直線P。有時也被稱為幾何直紋面，如圖1所示。這種曲面的小平維數為-∞。若一個曲面雙有理等價於一條光滑射影曲線與P的積，則稱這個曲面為雙有理直紋面。它可用P12=h°(12KX)=0來刻畫。幾何直紋面必定是雙有理直紋面，反之不對。
圖1圖1
一類特殊的曲面。它是由一條直線在空間R中移動所形成的曲面，這些直線稱為直紋面的直母線。柱面、錐面、單葉雙曲面、雙曲拋物面(馬鞍面)、空間曲線的切線曲面等都是直紋面。直紋面上和每一條直母線都相交的曲線稱為直紋面的準線。若一條準線的參數表示為a=a(u)，通過點a(u)的直母線的方向矢量(或取成單位矢量)為b(u)，則直紋面上的點P的矢徑可以表示成r=a(u)+vb(u)。這是直紋面的參數方程。

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