混差法:基本介紹,例題解析,相關定理,

混差法

混差法(method of mixed differences)亦稱對稱重差法，構造BIBD設計的一種直接方法，它是由玻色(R.C.Bose)在1939年提出的，該方法用於構造有自同構群G的BIBD設計(X，B)，在G的作用下，X的元被分為一些元素軌道，B亦被分為一些區組軌道，由每個區組軌道中各選出一個區組構成的區組系(B)被稱為B的基，構造(X，B)的關鍵是G的選取和(B)的確定，為此需在(B)的每個區組B中分別計算同一元素軌道中元之間的純差及不同元素軌道中元之間的混差，依據G中使B固定不變的子群的階數求出諸純差及混差產生的次數，要求這些次數都等於(v，k，λ)-BIBD中的參數λ。

基本介紹

中文名：混差法
外文名：method of mixed differences
所屬學科：數學（組合數學）
別名：對稱重差法
簡介：構造BIBD設計的一種直接方法
提出者：玻色(R.C.Bose)

基本介紹,例題解析,相關定理,

基本介紹

下面所介紹的構作(v，k，λ)-BIBD的直接構作方法通常稱為Bose的“對稱重差法”或“混差法”。

設(X，

)是一個(v，k，λ)-BIBD，它有一個m階的自同構群A，α∈A稱為設計的自同構，它變X為自身，且把

變為自身，我們還假設A是可換群，運算用“+”表示，則X的元素在A作用下被非成一些軌道，設第i個元素軌道中任一固定元記為(0)_i，這裡0是群的零元，當α∈A時，(0)_i在自同構α作用下的象α((0)_i)記作(α)_i。一般地可能當α≠β時，(α)_i=(β)_i，此時將有A的一個子群固定(0)_i。特別地，當這一固定子群為{0}時，只要α≠β，必有(α)_i≠(β)_i，從而第i個元素軌道恰含m個元素，另一極端情形是(0)_i的固定子群為A，此時對任意α∈A，(α)_i=(0)_i，從而這一元素軌道只含一個元素，這樣的元素將記作

，或簡記作

。

中區組在A的作用下也分成一些軌道，設B∈

，且B在A作用下固定子群的階為w，則包含B的區組軌道有

個區組，從每一個區組軌道中各取一個區組作為代表，所得的一組區組稱為

的一個基底或稱為初始區組，後一名稱來自這樣的事實，即在自同構群A的作用下，從初始區組可得出

中所有的區組。

例題解析

【例1】設x={(i)_j|i∈Z₅，j∈Z₃={1，2，3}}的加群為其自同構,群，這裡(i)_j簡記為i_j，這35個區組在自同構群Z₅的作用下分成7個區組軌道，每個軌道中取第一個區組作為代表，則得一基底{0₁，1₂，4₂}，{0₁，2₂，3₂}，{0₂，1₃，4₃}，{0₂，2₃，3₃}，{0₃，1₁，4₁}，{0₃，2₁，3₁}，{0₁，0₂，0₃}．同一軌道中其餘區組是由第一個區組經Z₅作用所得，事實上，經Z₅中1的作用從每一區組可得下一個區組。