子句S1(或文字A，或原子A)的所有變元均被H域的元素替換，這一過程稱為海伯倫化(Herbrand化，簡稱H化)，H化的結果稱為一個H化基例，也稱為H化基子句S1(或H化基文字，或H化基原子)。
基本介紹
- 中文名：海伯倫化
- 別稱：Herbrand化
- 簡稱：H化
- 所屬學科：數學
- 相關概念：海伯倫域，子句，基子句等
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基本介紹
Herbrand化(H化)子句
(或文字A，或原子A)的所有變元均被H域的元素替換，這一過程稱為H化，H化的結果稱為一個H化基例，也稱為H化基子句(或H化基文字，或H化基原子)。
例1
，的H化的若干結果是
現在考慮對子句結構進行進一步的細化分析。
子句集中允許有V連線的子句，如
。如果細分它為更簡單的形式即兩個原子
和
。
子句集中的原子A的H域解釋是指子句集的每個原子A進行H化基原子。然後指定(映射到)一個真假值，即A的H域解釋是
，A是子句集中的H化原子。
顯然，原子A的H化是更“小”的命題結構的H化，也是
解釋的特例。
子句或原子的H化是以下所述的一階公式G的解釋的特例，即解釋域為域H。
一階公式G的一個解釋是指對公式G的變元、函式、原子謂詞公式進行如下指定(映射)：
(1)從非空的項變元取值範圍D內為每個項變元指定一個元素，即{公式G的項變元}→D；
(2)為每個m元函式指定一個D的元素，即
；
(3)為每個n元原子謂詞公式指定一個真假值，即
。
第(1)步稱為半解釋。後面對其他非空域進行變元的賦值也稱為相應域的半解釋。
例2 原子
的兩個H域解釋是
。
海伯倫域
定義 子句集S中的基礎子句的項(常元)構成S的海伯倫域(Herbrand域，簡稱H域，Herbrand Universes)，構成方法如下：令F是出現在S中的函式符號的集合，除非F包含的所有函式符號均為0階(這時公式退化為常量的集合)，否則，F是集合
，其中
表示S中的常元，
，D是一個個體域：F是函式
構成的表達式的集合，是
的映射。S的H域是所有項
的集合，
。
由於F的階可超窮增加，因此，H域是一個可數超窮集。
例題解析
例3求
的H城，
是解釋的常元，
是變元。
例4求命題
的子句集的H域。
海伯倫理論
定義10如果子句集S的原子集為A，則對A中各元素的真假值的一個具體設定都是S的一個H解釋。
可以證明，在給定域D上的任一個解釋
，總能在H域上構造一個解釋
與之對應，使得如果D域上的解釋能滿足子句集S，則在H域的解釋也能滿足S(即若
，就有
)。
定理2設是子句集S在域D上的一個解釋，則存在對應於的H域解釋，使得若有，就必有。
定理3子句集S不可滿足的充要條件是S對H域上的一切解釋都為假。
證明：充分性：若S在一般域D上是不可滿足的，必然在H域上是不可滿足的，從而對H域上的一切解釋都為假。
必要性：若S在任一H解釋下均為假，必然會使S在D域上的每一個解釋為假。否則，如果存在一個解釋
使S為真，那么依據定理2可知，一定可以在H域找到相對應的一個解釋
使S為真。這與S在所有H解釋下均為假矛盾。
定理4子句集S不可滿足的充要條件是存在一個有限的不可滿足的基例集S’。
該常理稱為Herbrand定理。
相關概念
定義1不含有任何連線詞的謂詞公式叫原子公式，簡稱原子，而原子或原子的否定統稱文字。
定義2子句就是由一些文字組成的析取式。
定義3不包含任何文字的子句稱為空子句，記為
。
定義4由子句構成的集合稱為子句集。
定義5設謂詞公式G的子句集為S，則按下述方法構造的個體變元域H稱為公式G或子句集S的Herbrand域，簡稱H域。
(1)令H0是S中所出現的常量的集合。若S中沒有常量出現，就任取一個常量
，規定
。
(2)令
{S中所有的形如
的元素)，其中是出現於G中的任一函式符號，而
是
中的元素。i=0，1，2，…。
定義6下列集合稱為子句集S的原子集：
A={所有形如
的元素}
其中，是出現在S中的任一謂詞符號，而則是S的H域上的任意元素。
定義7將沒有變元出現的原子、文字、子句和子句集分別稱作基原子、基文字、基子句和基子句集。
定義8當子句集S中的某個子句C中的所有變元符號均以其H域中的元素替換時，所得到的基子句稱作C的一個基例。
定義9 (可滿足性、不可滿足性)對於一個變元自由的一階語言公式G，如果至少存在一個D論域上的一個解釋
，在此解釋下G為真，則稱G是可滿足的，即
；反之，如果對於任何解釋G均為假，則稱G是不可滿足的，即
，或
。
對於一個變元自由的一階語言公式集
，即
，如果至少存在一個D的解釋，在此解釋下，的每個以D為論域的公式均為真，則稱為可滿足的；如果D的所有解釋都有假公式，則稱是不可滿足的。
不可滿足意義下的一致性
定理1設有謂詞公式G，而其相應的子句集為S，則G是不可滿足的充分必要條件是S是不可滿足的。
要再次強調：公式G與其子句集S並不等值，只是在不可滿足意義下等價。
當時，若設P的子句集為
，
的子句集為
，則一般情況下，並不等於
，而是要比複雜得多。但是，在不可滿足的意義下，子句集與是一致的，即不可滿足
不可滿足。
