基本介紹
- 中文名：泛化物品
- 類型：背包問題
- 功能：沒有固定的費用和價值
- 價格變化：隨分配費用變化
泛物品求和,背包問題,
泛物品求和
如果面對兩個泛化物品h和l，要用給定的費用從這兩個泛化物品中得到最大的價值，怎么求呢？事實上，對於一個給定的費用v，只需枚舉將這個費用如何分配給兩個泛化物品就可以了。同樣的，對於0..V的每一個整數v，可以求得費用v分配到h和l中的最大價值f(v)。也即f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到，f也是一個由泛化物品h和l決定的定義域為0..V的函式，也就是說，f是一個由泛化物品h和l決定的泛化物品。
由此可以定義泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f滿足f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}，則稱f是h與l的和，即f=h+l。這個運算的時間複雜度取決於背包的容量，是O(V^2)。
泛化物品的定義表明：在一個背包問題中，若將兩個泛化物品代以它們的和，不影響問題的答案。事實上，對於其中的物品都是泛化物品的背包問題，求它的答案的過程也就是求所有這些泛化物品之和的過程。設此和為s，則答案就是s[0..V]中的最大值。
背包問題
一個背包問題中，可能會給出很多條件，包括每種物品的費用、價值等屬性，物品之間的分組、依賴等關係等。但肯定能將問題對應於某個泛化物品。也就是說，給定了所有條件以後，就可以對每個非負整數v求得：若背包容量為v，將物品裝入背包可得到的最大價值是多少，這可以認為是定義在非負整數集上的一件泛化物品。這個泛化物品——或者說問題所對應的一個定義域為非負整數的函式——包含了關於問題本身的高度濃縮的信息。一般而言，求得這個泛化物品的一個子域（例如0..V）的值之後，就可以根據這個函式的取值得到背包問題的最終答案。
綜上所述，一般而言，求解背包問題，即求解這個問題所對應的一個函式，即該問題的泛化物品。而求解某個泛化物品的一種方法就是將它表示為若干泛化物品的和然後求之。
