沙爾定理

沙爾定理是指設A、B、C是同一直線上的三點，則AB+BC=AC，其中AB、BC、AC是有向線段。

沙爾定理：

他反應了有向線段相加的性質，是解析幾何的一條基本定理。

沙爾

證明：

1、設C在AB中間，則AB=|AB|，BC=—|BC|，AC=|AC|，

所以AB+BC=|AB|—|BC|=|AC|=AC

2、設C在A左側，則AB=|AB|，BC=—|BC|，AC=—|AC|

所以AB+BC=|AB|—|BC|=—|AC|=AC

同理可證當C在B右側時等式也成立。

推廣：

設A1，A2，A3…，A(n-1),An是同一直線上的n個點，則有A1A2+A2A3+…+A（n-1)An=A1An成立。

證明：

用數學歸納法：假設A1A2+A2A3+…A(k-1)Ak=A1Ak 成立，則

A1A2+A2A3+…+A(k-1)Ak+AkA(k+1)

=A1Ak+AkA(k+1)

=A1A(k+1),

而當k=3時我們已經證明過它是成立的了，所以推廣得證。