沃利斯乘積

沃利斯乘積是約翰·沃利斯提出的一個有名的數學公式。

基本介紹

• 中文名：沃利斯乘積
• 學科：數學

定義

數學家約翰·沃利斯在1655年寫下了今日有名的沃利斯乘積

當時證明

今日多數的微積分教科書透過比較在n是奇數或是偶數，甚至是接近無窮大的情況下，發現即使將n增加一就會發生不一樣的情形。在那時，微積分尚未存在，而且有關數學收斂的分析工具也還未俱全，所以完成這證明較現今有相當的難度。從現在來看，從歐拉公式中的正弦展開式得到此乘積是必然的結果。

在x= π/2時

嚴謹證明

先考慮不定積分 有

故

故有

對整數m

另一方面

兩式相除得

故

又因為

由夾擠定理知

故

尋找 ζ(2)

我們可將上述的正弦乘積式化為泰勒級數：