基本介紹
- 中文名：比恩代數
- 外文名：Byrne algebra
- 所屬學科：數學（布爾代數）
- 簡介：布爾代數的一種變形
- 提出者：比恩(Byrne)
基本介紹,相關定理,
基本介紹
布爾代數的公理系統很多，下面的公理系統是Byrne提出的公理系統演變而來的。
比恩代數是由比恩提出的一個公理系統〈B，·，′，0〉(其中B是集合，·是B上二元運算，′是B上一元運算，0是B中元素)，比恩代數滿足下列公理：
1.對任何x，y∈B有x·y=y·x.
2.對任何x，y，z∈B，有
x·(y·z)=(x·y)·z.
3.x·x=x.
4.x·y′=0↔x·y=x.
5.0≠0′.
這個公理系統與布爾代數〈B，+，·，′，0，1〉存在一一對應關係，這隻要在比恩公理系統中定義：1為0′，x+y為(x′·y′)′，x≤y當x·y=x，即可證明：對任意一個布爾代數〈B，+，·，′，0，1〉，代數系統〈B，·，′，0〉是比恩代數;反過來，對任一個比恩代數〈B，·，′，0〉，代數系統〈B，+，·，′，0，1〉是一個布爾代數。
相關定理
比恩代數〈B，·，′，0〉中的二元運算在有的書籍上也用“∧”表示，下文我們就用〈B，∧，′，0〉表示比恩代數。
對任意一個布爾代數〈B，∧，∨，′，0，1〉， 結構〈B，∧，′，0〉是Byrne代數，下面的定理建立了逆命題。
定理1 對於任一Byrne代數〈B，∧，′，0〉，結構〈B，∧，∨，′，0，1〉是一個布爾代數。顯然，
(a)x∧x'=0
(b) x∧y' =0↔x≤y
(c) x≤x
(d) x≤y&y≤x→x=y
(e)x≤y&y≤z→x≤z :
(f)x∧y≤x
(g) x∧0=0
(h)x"=x
(i)x∧y= (x'∨y')'
(j)x∨y=y∨x
(k)x∨( y∨z)= (x∨y)∨z
(l)x∨x=x
(m) x≤y↔y'≤x'
(n)x∨y'=1↔x∨y=x
(o)對偶性:用Byrne代數語言(即使用符號∧, ', 0)表示的任何定理，當用∨代替∧，用1代替0時，変成為另一定理，在這個代換下，所定義的x∨y〈即(x'∧y')')変成(x'∨y')',即(x∧y)，所定義的1 (即0' )變成1'，由(h)它等於0，所以在相座的布尓代數中，一個定理的對偶也是一個定理。
(p)x≤y↔x∨y=y(因此x≤y的對偶等價於y≤x)。
(q)x∧1=x
(r)x∨0=x
(s)x∨x'=1
(t) x≤x∨y
(u)x∨(x∧y)=x∧(x∨y)=x
(v)x≤y→( x∧z≤y∧z&x∨z≤y∨z )
(w) (x≤z&y≤z)→x∨y≤z
(x) (z≤x&z≤y )→z≤x∧y
(y)x∧( x'∨y ) =x∧y
(z1)x∧( y∨z)= (x∧y)∨(x∧z)
(z2)x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)
(z3)布尓代數的公理(1)一(9)成立。
