《正半定張量的估計及其在磁共振成像中的套用》是依託鄭州大學，由陳艷男擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：正半定張量的估計及其在磁共振成像中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：陳艷男
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
磁共振成像是臨床醫學中診斷病情的一項常規檢測手段，每年全球約檢查6000萬病例。另一方面，與磁共振現象相關的研究共獲得了6次諾貝爾獎。這些數據表明從事磁共振成像方面的研究具有重要的科學意義和實用價值。.本項目旨在研究磁共振成像中的高階張量成像問題。為了描述水分子在生物組織內部的受限擴散運動，相應的高階對稱張量必須正半定。在發表於SIAM J. Imaging Sci.文章基礎上，我們進行如下研究：(1)進一步研究同時具有低秩性和正半定性的高階張量估計問題，科學運用平方和多項式和半定規劃技術來建立新的數學模型，並研究其在估計嚴格正定的廣義擴散張量和非負的神經纖維方向分布函式中的套用。(2)在高階對稱張量低秩分解中，提出了新的正則化方法，建立新模型，並研究其在神經纖維方向提取中的套用。(3)利用上述數學模型的特點，研究可靠和有效的計算方法，並形成處理磁共振成像問題中海量數據的套用軟體。
結題摘要
正半定張量在科學和工程的許多領域具有重要的套用。例如，在醫學磁共振成像中，描述人體大腦中神經纖維走向的偶數階張量必須是正半定的，這一要求是由水分子的擴散原理決定的。本項目圍繞正半定張量開展若干研究工作。一、針對醫學磁共振成像中的神經纖維方向分布函式估計問題，我們提出了一種新的半定規劃模型，它保證了估計出的神經纖維方向分布函式具有非負性和規範性，即具有統計意義。進一步地，根據張量的譜理論，我們設計了一種新的正則化技術。為了有效地求解該半定規劃模型，我們提出了一種帶校正步的Peaceman-Rachford分裂算法，並證明了算法的全局收斂性。數值實驗表明我們的新模型得到的神經纖維走向與解剖學的結果一致。二、我們研究了三維強對稱循環張量和四階四維Hankel張量的正半定性和平方和性質之間的關係。由於檢驗張量的正半定性一般比較困難，而檢驗張量的平方和性質存在多項式時間算法。如果對於某些特殊的結構張量，正半定性和平方和性質之間存在等價關係，我們就可以通過平方和性質判定張量的正半定性。以張量的特徵值理論為工具，我們研究了兩個特殊的結構張量的正半定性和平方和性質之間的關係。三、偶數階對稱張量的正半定性還可以通過其最小的H-或Z-特徵值非負的辦法來判定。為此，我們研究了大規模Hankel張量和超圖中產生的相關張量的最大和最小特徵值的計算方法。我們設計了超圖中產生的大規模張量與向量乘積的快速算法，並將其與一階最佳化算法，如譜梯度法、共軛梯度法和有限存儲擬牛頓法，結合進而得到了一類計算張量極特徵值的有效算法。利用張量問題的半代數性質，我們分析了算法的全局收斂性和找到全局最優解的機率。數值試驗表明我們的算法可以有效的計算百萬維Hankel張量和超圖中產生的張量的特徵值。
