正則條件機率

正則條件機率(The regular conditional probability)亦稱條件機率測度。

基本介紹

• 中文名：正則條件機率
• 外文名：The regular conditional probability
• 領域：統計學
• 別名：條件機率測度
• 性質：條件機率性
• 用途：條件機率的積分為條件期望

定義

設為機率空間，為的子代數。由條件期望的性質知：

具有以下性質：

這些性質與機率測度的性質(全空間的測度等於1，非負性，可數可加性)很相似，不同之處在於出現了例外集．

假定對於每一個集合，我們取定的一個版本(即為上的一個確定的可測函式，並且．我們希望去掉一個例外集(機率為零)使得，對於任意的為上的一個機率測度：非負性及在全空間上的值等於1不成問題，只需要它滿足可數可加性：即對於任意可數個兩兩不相交的集合，必須有下式成立

但是，根據條件期望的定義，我們只知道。因此，對於每一個集合序列，需要去掉一個例外集才能使得式成立；而這樣的序列個數通常都是不可數的，我們知道不可數個零概集的並集不一定還是零概集(其實並起來的集合是否屬於代數我們都不知道，即並起來的集合的可測性我們一般都不知道)．如果能夠去掉一個公共的零概集N，使得式成立，可在N上，對於任意集合，定義，則式對所有成立。

設為一機率空間，為的子代數．令為上的一族機率測度，稱它為P關於的正則條件機率，如果為的一個版本，即以下兩個條件成立：

(1)為上的可測函式；

(2)，

相關定理

定理1：設為P關於的正則條件機率。設X為一隨機變數，其期望存在，則對幾乎所有，X關於機率測度的積分存在，並且有

證明 ：從示性可測函式過渡到非負可測函式，再到一般可測函式(隨機變數) 。

該定理表明，有了正則條件機率，條件期望可以看做是關於條件機率的積分。

定理2： 設為一可分可測空問，P為上的一緊機率測度，則對的任一子代數，存在P關於的正則條件機率。

定理3：設為一Radon可測空間，P為上的一機率測度，則對的任一子代數，存在P關於的正則條件機率。