橢球調和函式(ellipsoidal harmonics)是拉普拉斯方程的一種特殊形式的多項式解。對於給定的非負整數n，獨立的n次橢球調和函式有2n+1個：n為偶數時為(n/2)+1個第一類橢球調和函式和3n/2個第三類橢球調和函式，n為奇數時為3(n+1)/2個第二類橢球調和函式和(n-1)/2個第四類橢球調和函式。
基本介紹
- 中文名：橢球調和函式
- 外文名：ellipsoidal harmonics
- 領域：數學
- 性質：拉普拉斯方程的特殊形式解
- 本質：調和函式
- 種類：四類
概念,調和函式,拉普拉斯方程,
概念
橢球調和函式(ellipsoidal harmonics)是拉普拉斯方程的一種特殊形式的多項式解。其普遍形式是：
第一類橢球調和函式：
對於給定的非負整數n，獨立的n次橢球調和函式有2n+1個：n為偶數時為(n/2)+1個第一類橢球調和函式和3n/2個第三類橢球調和函式，n為奇數時為3(n+1)/2個第二類橢球調和函式和(n-1)/2個第四類橢球調和函式。
調和函式
稱定義在R的開集U上的復值函式f是調和的，如果它在U上二次連續可微，且它經拉普拉斯運算元作用後為零：Δf=0。
可以證明，U上的分布T滿足ΔT=0，則T是解析且調和的函式。為使在U上局部可積的函式f是調和的，必須且只須對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球含於U中的正實數α，f(a)等於f在球B上的平均值。或等於f在以a為中心、α為半徑的球面上的平均值。由此容易推出： 定義在連通開集U上、使 |f|在U的一點達到其極大值的調和函式是常值函式(極大值原理)。
C之開集U上的所有全純函式是調和的，它們的實部與虛部也是調和的。反之，如果U是C的單連通開集，則對任一實值調和函式f，存在U上的全純函式g，使Re(g)=f。
極大值原理可推廣到稱為次調和函式的更一般的函式類；這是一些定義在U上、在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，而對U的任一點a及對任一使以a為中心、α為半徑的閉球B含在U中的正實數α，f(a)小於f在B上的平均值。
R的開區間上的次調和實值函式正好是這一區間上的凸函式。
對C之開集U上的任一全純函式f，函式log|f|是次調和的。因而C之開集U上的次調和函式的研究能套用於全純函式的研究。將這種方法推廣於研究Cn之開集U上的全純函式情況，導致引入一個函式類，稱為多元次調和函式類；這是一些定義在U上，在[-∞，+∞[中取值的上半連續函式，且對C的任一直線D，f在D∪U上的限制是次調和函式。
拉普拉斯方程
以法國數學家、天文學家P.S.拉普拉斯(Pierre SimonLaplace)命名的偏微分方程。在電磁學、力學、熱學等學科中，拉普拉斯方程用來描述靜止場(不隨時間變化的場)的特性。令A (x，y，z)是被研究的場量(例如溫度)，x、y、z是三維空間直角坐標系的三個坐標量。拉普拉斯方程的具體形式是：
恆定磁場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性磁介質，Ω中沒有電流。區域Ω是單連通的。將Ω中的磁標位記作m，恆定磁場的規律由拉普拉斯方程▽m=0描述。
恆定電場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性導電體，Ω中沒有電動勢。導電體中的電位V滿足拉普拉斯方程▽V=0。
拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解，決定於區域Ω邊界上的場量。邊界上給定的場量稱邊界條件。因此，解靜止場的問題，通常是在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程：①在區域形狀簡單、邊界條件簡單的條件下，可以用解析方法解拉普拉斯方程。②用實驗方法解拉普拉斯方程，即測量出區域Ω中各處的場量。③利用計算機用數值方法解拉普拉斯方程。隨著計算機技術的發展，數值方法得到廣泛的套用(見電磁場的數值計算)。
泊松方程若▽A=0的等號右端不是0，而是空間坐標的函式，則此方程稱為泊松方程。它是以法國數學家、物理學家S.泊松(S.Poisson)命名的。例如在靜電場的情況下，若區域Ω中有電荷體密度ρ時，電位V滿足泊松方程：
