樹狀量子圖上Sturm-Liouville運算元譜及其逆問題研究

《樹狀量子圖上Sturm-Liouville運算元譜及其逆問題研究》是依託南京理工大學，由楊傳富擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：樹狀量子圖上Sturm-Liouville運算元譜及其逆問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊傳富
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

樹狀量子圖上Sturm-Liouville運算元(簡稱 TSL)源於電路及光子晶體等領域, 如何刻畫TSL譜特徵及由可觀察特徵數據重構運算元是微分運算元譜論的重要內容。本項目研究TSL的譜特徵及其逆問題。建立TSL特徵值函式遞歸式及量子圖上Prüfer變換，分析TSL譜特徵並給出其特徵值漸近式；藉助量子圖上特徵函式結點交織性，研究TSL特徵函式振盪性並建立其結點漸近式；揭示TSL譜特徵與量子圖關係，利用變換運算元理論研究TSL的Ambarzumyan型逆譜問題；構造TSL對應積分方程的核函式及矩陣型波動方程，研究TSL等譜問題,描述等譜量子圖；由TSL特徵函式結點數據給出逆結點問題唯一性定理及TSL未知參數的重構公式與算法，提供求解TSL逆問題新方法,分析逆問題解的穩定性。本項目的研究對於探索量子圖的幾何結構及豐富TSL譜理論、改進套用模型的設計方法、完成量子計算所需電路的製造與控制具有重要意義。

結題摘要

量子圖是指在圖的邊上裝備對稱微分算式，在圖的頂點處賦予邊界條件使其成為一個自伴微分運算元的幾何圖，其中樹狀量子圖是量子圖中一個重要類型。樹狀量子圖上Sturm-Liouville運算元(簡稱 TSL)源於電路及光子晶體等領域。本項目研究樹狀量子圖上Sturm-Liouville 運算元的譜及其逆問題。這是微分運算元譜論的一個重要內容。 本項目主要研究內容：給出TSL的譜特徵及其特徵值漸近式；刻畫TSL特徵函式結點性質並建立TSL特徵函式結點的漸近式；給出TSL的Ambarzumyan型問題完全刻畫；描述與TSL具有等譜的特徵值問題；提供一種求解逆結點問題的有效算法，運用這種算法僅由特徵函式的結點數據去重構圖及圖上的勢函式。本項目圍繞TSL的譜結構、Ambarzumyan型逆譜問題、等譜問題和逆結點問題的研究，得到了下列研究結果： (1) 得到TSL的譜特徵並建立其特徵值漸近式；刻畫TSL特徵函式結點性質並建立TSL特徵函式結點的漸近式。 (2) 給出了TSL的Ambarzumyan型問題完全刻畫。結果表明：在圖上邊界頂點處賦予Neumann邊界條件，如果它的譜與自由勢問題的譜一致，那么該問題的勢函式必為零。 (3) 刻畫與TSL具有等譜的特徵值問題，給出圖及勢函式的相應描述。 (4) 給出逆結點問題唯一性定理，並且提供一種求解逆結點問題的有效算法，運用這種算法由特徵函式的結點數據去重構圖及圖上的勢函式。從理論上提供了由特徵函式的稠結點集的一些關於勢函式及邊界條件未知參數的唯一性結果；從套用上給出了如何由實驗測得的結點數據重構這些未知參數的有效算法。這些問題的解決，對於探索量子圖的幾何結構及豐富TSL的譜理論具有一定意義。