樹狀網路上擬線性雙曲組的精確邊界能控性與能觀性

《樹狀網路上擬線性雙曲組的精確邊界能控性與能觀性》是依託上海交通大學，由顧琪龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：樹狀網路上擬線性雙曲組的精確邊界能控性與能觀性
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：顧琪龍
• 依託單位：上海交通大學

項目摘要

本項目研究樹狀網路上擬線性雙曲組的精確邊界能控性與能觀性及其相互關係與套用。在生活中，從龐大的供氣、排水系統到微小的血管分布，從實際的交通道路系統到虛擬的計算機網路，網路隨處可見。近十年來，對一維擬線性雙曲組的精確邊界能控性與能觀性問題，已有了一個完善的理論體系，本項目將著重考察其在網路系統中的相應結果。在網路中的研究不僅會面臨複雜的幾何結構，同時會面臨多重節點處控制量通常缺失等嚴重困難。申請人已在平面弦振動、河渠非定常流等情況得到一些結果，本項目將深入研究一些更複雜的模型，如三維弦振動、帶污染的河渠非定常流模型、鐵摩辛柯梁等。另外，對新近從工程問題中歸納出來的關於節點狀的精確邊界能控性，也將系統地在樹狀網路上進行研究，並建立起完整的理論。

結題摘要

在本課題中，本人研究了擬線性雙曲型方程組在樹狀網路上的精確邊界能控性問題。 樹狀網路在現實生活中隨處可見，如河流河渠、道路交通等，而對這些物理工程現象的數學描述則通常可用擬線性雙曲組來表示，如聖維南方程組、弦振動方程等。因此，這一研究具有廣泛的套用價值。由於本人在早期的科研中，對於傳統意義下的精確邊界能控性已經獲得了一套較為完整的結果，因此，本人著重研究了樹狀網路上關於節點狀態的精確邊界能控性。與傳統意義下的能控性問題不同，關於節點狀態的能控性問題的控制目標函式不再是整個網路上方程組在某個時刻的解，而是解在某些給定節點處的連續狀態。這一問題的出處緣於天然氣管網中的氣體輸送，輸入端與輸出端的狀態即為節點狀態。 在本課題中，本人研究了多個相關的問題，包括給定的目標函式滿足何種條件的情況下能控性可以實現；若需實現能控性，控制量的選取要滿足什麼條件；實現能控性的最優時間等等。本人通過對單個多重節點的星型網路的研究以及隨後在一般樹狀網路上的推廣，證明了所需的控制函式的個數需要等於事先給定的目標函式的個數；而目標函式本身與相應的控制函式所給定的位置則分別與樹狀網路一起，滿足一定的拓撲性質。 另一方面，本人還研究了控制量缺失所帶來的問題。由於控制量的選取與連線條件有關，而在具實際物理背景的問題中，經常會遇到齊次的連線條件，即在這樣的節點處沒有可供選取控制函式，這就稱為控制量的缺失。本人證明了，在滿足一定的條件下，控制量可在離目標函式所在節點較遠的節點上重新選取；而在另一些情況下，甚至僅僅通過在單節點處選擇控制函式就可實現樹狀網路上的能控性。