構造性分拆理論研究

《構造性分拆理論研究》是依託上海對外經貿大學，由劉海擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：構造性分拆理論研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：劉海
• 依託單位：上海對外經貿大學

項目摘要

本項目旨在研究構造性方法在分拆理論中的套用。該理論由當代組合數學權威、美國科學院院士George Andrews教授引領，有著很強的數學物理背景，是當代組合學研究的前沿課題之一。同時，在涉及partial theta函式和mock theta函式分拆等式的構造性證明方面我們已經取得重要進展，為繼續研究奠定了基礎。.. 項目將利用組合數學的方法和技巧來構造分拆雙射和對合，給出一些著名分拆等式和q-級數等式的組合證明，如：Andrews’ partial theta等式的更一般推廣等式，關於兩個partial theta函式和與差等式，涉及mock theta函式的等式和子分拆等式，並解決一些公開問題。.. 本項目的研究成果將有助於加深對分拆等式和q-級數等式的理解，為分拆理論在q-級數、組合數學、數論和物理學等領域的套用提供更多的理論支持。

結題摘要

按照項目計畫，我們對組合數學的方法和技巧在分拆恆等式和q-級數等式的構造性證明、組合序列的對數凹性、模形式，以及分拆函式同餘性質進行了研究，取得了多項重要成果，共發表或接受發表論文2篇，在投稿論文2篇，並參加國內學術會議一次。 在構造性證明方面，我們仔細研究了partial theta函式和mock theta函式等式的組合證明，認真學習了季青、B. Kim和J.S. Kim於2015年發表於《Int. J. Number Theory》的文章“Combinatorial proof of a partial theta function identity of Warnaar”， 她們構造性證明了涉及partial theta函式的Warnaar等式。 在組合序列的對數凹性方面，我們利用科恩序列前後項比率的上界和下界，證明了科恩序列的對數凹性，相關結果接受發表於《J. Ineq. Appl.》。審稿人評價為“The method presented in the paper, seem to be a quite powerful tool.… It has the potential to spark further research”。 在模形式理論研究方面，我們利用theta函式等式，推廣了Williams的關於eta商部分傅立葉係數為零的結果，相關結果接受發表於《Ramanujan J.》。審稿人認為我們的結果是“a nice result”，證明過程“very elegant”。 在分拆函式同餘性質方面，我們利用模形式、Ramanujan theta函式等式和組合方法的工具，證明了斷裂5-鑽石分拆函式模11的同餘性質和偶部分互不相同的雙分拆函式模16、32、64的同餘性質。