極大代數矩陣本徵值問題是極大代數矩陣本徵值問題(eigenvalue problem of matrix in max-algebra)由極大代數導出的一類矩陣本徵值問題.按照極大代數中的加法①和乘法⑧的規則，可以和常規線性代數類同地定義矩陣及其運算
概念及算法
極大代數矩陣本徵值問題(eigenvalue problem of matrix in max-algebra)由極大代數導出的一類矩陣本徵值問題.按照極大代數中的加法①和乘法⑧的規則，可以和常規線性代數類同地定義矩陣及其運算.例如，若A=(Q;j}rnXpe}=(}J;j}pxn，則
許多實際問題可以歸結為研究由下列矩陣關係定義的線性變換:二((t十1>=A⑧二(t>，其中x<t) E R”可理解為第t拍時的n維狀態向量，A為nXn矩陣.
自然可提出該矩陣A的本徵值問題:能否找到實數久和某向量x，使得A② x=}1② x?若能找到且
這裡極大代數意義下的}k壘,l②,l⑧ ...②,1= k.1，表明每演化一拍，x的各分量均增加相同的值又.由於極大代數描述的問題中，x(t)常表示第t拍時各事件發生的時刻，若求出本徵值和本徵向量，則可斷言對應的系統行為進入了一種以又為周期的周期態，而這通常是人們期望並常在實際中觀察到的.當系統能進人某種周期態或周期態的組合時，則稱此(極大代數意義下的)系統為穩定的.
極大代數矩陣本徵值問題與普通線性代數有完全不同的結論.為敘述這些結果，首先要將矩陣A 與下列加權有向圖對應起來.該圖有n個結點，分別代表二的一個分量，僅當矩陣A的(}i,j)元素a;;; 一二時，圖中有一條由結點i到結點7的權為a;;的有向邊.對該圖的每一條長為l的迴路(i } } i I } ... } i t
為該迴路的權(其中運算為普通算術意義下的). 可以證明，當該圖為強連通亦即矩陣A為不可約時，各迴路最大的權幾即為該矩陣的惟一本徵值. 按定義它可簡潔地表達為
其中所有運算都是在極大代數意義下的. 當該圖不是強連通時，其本徵值不僅應為某迴路r，的平均權重a，而且這些r，到其他平均權重大於幾的迴路均無通道.反之，這些條件也保證了凡必為本徵值.應當指出，本徵向量的求法也是比較複雜的.對這種極大代數意義下的“線性”系統，亦可用狀態反饋或輸出反饋來使受控系統穩定並具有指定的本徵值(運行周期).
