格林運算元(Green's operator)是微分p形式空間到調和p形式空間的直交補的一個映射。設G:Ep(M)→(Hp)⊥,ᗄα∈Ep(M),G(α)是方程Δω=α-H(α)在(Hp)⊥中的惟一解,其中H:Ep(M)→Hp是一個投影運算元,就稱G為一個格林運算元。
基本介紹
- 中文名:格林運算元
- 外文名:Green's operator
- 所屬學科:數學
- 所屬領域:偏微分方程
定義,格林運算元的性質,相關解釋,高階橢圓型方程的格林運算元,
定義
格林運算元(Green's operator)是微分p形式空間到調和p形式空間的直交補的一個映射。設是方程在中的惟一解,其中是一個投影運算元,就稱為一個格林運算元。
格林運算元的性質
運算元G的性質:
1.G是一個有界自伴隨線性運算元;
2.把有界序列變成有柯西子序列的序列;
利用格林運算元易得到:
2.定向緊微分流形的德拉姆上同調群都是有限維的。
相關解釋
格林運算元(Green operator)即二階橢圓運算元的逆運算元,考慮二階橢圓型方程
在Ω內的第一、第三邊值問題,其中Ω是Rn中的有界域,其邊界∂Ω由有限個光滑超曲面構成。運算元A的定義域對第一邊值問題為,對第三邊界條件為
如果A為到的一一映射,則稱其逆運算元(記為G)為相應邊值問題的格林運算元。一般地不一定存在,但當t充分大時,
是存在的。設λ為復參數,對於方程,用從左作用得到。反之,若把此方程看做中的方程,是它的一個解,則顯然有,且u(x)是原偏微分方程的解並滿足邊界條件,在上述方程中是上的緊運算元,因此可利用里斯-紹德爾理論,特別地,當t+λ不是的特徵值時,
就是原問題的惟一解。
高階橢圓型方程的格林運算元
高階橢圓運算元的格林運算元(Green operator of higher order elliptic equation)的構造,對於高階橢圓型方程的一般邊值問題
其中m是運算元A的階(偶數),邊界運算元應滿足兩個條件:
1.在∂Ω的一切點x處,∂Ω的法線方向不是任何的特徵方向;
2.的階並且;
A的定義域是
當A是到上的一一映射時,稱為上述問題的格林運算元。如果A與x無關,且設Γ(x)是它的基本解,即
一般地,原邊值問題的格林函式可如下構造:令, 而由兩個條件確定:
1.對,
2.對,