柯西－阿達馬公式

柯西-阿達馬公式(Cauchy-Hadamard Formula)為複分析（Complex analysis）中求單復變形式冪級數收斂半徑的公式，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西和雅克·阿達馬的名字命名。

基本介紹

• 中文名：柯西－阿達馬公式
• 外文名：Cauchy-Hadamard Formula
• 分類：數理科學

公式陳述

對於單一複數變數“z”的形式冪級數

上式中

則該級數收斂半徑R 由下式給出：

其中limsup定義為

其中sup為集合的最小上界。

形式冪級數

形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說，以下的級數式子：

如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函式是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為： 這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數： ，即使說它對應的冪級數：

在 取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。

和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設：

那么 與 的和就是：

其中 裡面 的係數就是 與 中 的係數的和； 裡面 的係數就是 與 中 的階數相加等於5的項的係數乘積的和：

對每個確定的階數 ，這個計算是有限項（至多 項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。

形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數 的逆是指另一個形式冪級數 ，使得 . 如果這樣的形式冪級數 存在，就是唯一的，將其記為 。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當 的逆存在時， 比如說，可以很容易驗證：

形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作：將一個形式冪級數映射到它的 的係數。這個操作常常記作 ，比如說對形式冪級數 ，就有：

對以上定義的形式冪級數 ，也有：。又比如：，。提取映射和多項式環中的對應映射一樣，都可以看做是到一個子空間的投影映射。