李亞普諾夫定理

基本介紹

李亞普諾夫定理是數學生態學的重要定理之一，是判定系統穩定性質的重要定理，對於複雜生態系統

設有正平衡點x*，x*∈Ω⊂Rⁿ₊，若在區域Ω內定義的函式V(x)對於系統具有性質：

1.V(x*)=0，並且x*是V(x)在Ω內惟一整體最小值；

2.在Ω內，對每一個正值K，曲面族V(x)=K都是閉曲面；

3.導數

對於所有x∈Ω是非正的；則稱函式V(x)是系統在Ω內的李亞普諾夫函式。

李亞普諾夫定理斷言：若系統有正平衡點x*∈Ω，如果存在李亞普諾夫函式V(x)，在Ω內dV/dt是負定的，則x在區域Ω內為漸近穩定的(即以Ω內任意點為初值的解，當t→∞時趨於x*)，特別當Ω≡Rⁿ₊時，x*稱為全局漸近穩定的。

相關說明

定理1（李亞普諾夫定理） A的所有特徵值都具有負實部,或等價地說，

的零狀態是漸近穩定的，若且唯若對於任意給定的正定埃爾米特矩陣N，矩陣方程

具有唯一的埃爾米特解M，並且M是正定的。

系1 A的所有特徵值都具有負實部，或等價地說，

的零狀態是漸近穩定的，若且唯若對於任意給定的，具有{A，N}可觀測之性質的，半正定埃爾米特矩陣N，矩陣方程

有唯一的埃爾米特解M，並且M是正定的。

定理1和系1的含義是，若A是漸近穩定的，且N正定或半正定，則(1)式的解M必為正定，但這並不是說，若A是漸近穩定且M是正定，由(1)式算得的矩陣N是正定或半正定的。

因定理1對於任何正定埃爾米特矩陣N均成立,故(1)式中的矩陣N常選為單位矩陣，由於M是埃爾米特矩陣，故其中有n²個未知數需要求解，若M是實對稱矩陣，則其中有n(n+1)/2 個未知數需要求解。因此，矩陣方程(1)實際上包含有n²個線性代數方程，為了套用定理1，我們必須對M求解n²個方程，隨後核查M是否正定，這些工作實非易事，因此，定理1及其系一般並不用來確定

的穩定性。然而，套用李亞普諾夫第二法研究非線性時變系統的穩定性時，定理1卻是至關重要的。