李亞普諾夫定理

李亞普諾夫定理

李亞普諾夫定理是關於實矩陣特徵值的一個命題,對n階實矩陣A和n階正定矩陣C,若存在正定矩陣B,使得AB+BA′=-C,則A的特徵值的實部必全小於零,這個定理由李亞普諾夫(А.М.Ляпунов)提出,在運動穩定性理論中起著重要的作用。

基本介紹

  • 中文名:李亞普諾夫定理
  • 外文名:Liapunov’s theorem
  • 所屬學科:數學
  • 提出者李亞普諾夫
  • 簡介:關於實矩陣特徵值的一個命題
基本介紹,相關說明,

基本介紹

李亞普諾夫定理是數學生態學的重要定理之一,是判定系統穩定性質的重要定理,對於複雜生態系統
設有正平衡點x*,x*∈Ω⊂Rn+,若在區域Ω內定義的函式V(x)對於系統具有性質:
1.V(x*)=0,並且x*是V(x)在Ω內惟一整體最小值;
2.在Ω內,對每一個正值K,曲面族V(x)=K都是閉曲面;
3.導數
對於所有x∈Ω是非正的;則稱函式V(x)是系統在Ω內的李亞普諾夫函式
李亞普諾夫定理斷言:若系統有正平衡點x*∈Ω,如果存在李亞普諾夫函式V(x),在Ω內dV/dt是負定的,則x在區域Ω內為漸近穩定的(即以Ω內任意點為初值的解,當t→∞時趨於x*),特別當Ω≡Rn+時,x*稱為全局漸近穩定的。

相關說明

定理1(李亞普諾夫定理) A的所有特徵值都具有負實部,或等價地說,
的零狀態是漸近穩定的,若且唯若對於任意給定的正定埃爾米特矩陣N,矩陣方程
具有唯一的埃爾米特解M,並且M是正定的。
系1 A的所有特徵值都具有負實部,或等價地說,
的零狀態是漸近穩定的,若且唯若對於任意給定的,具有{A,N}可觀測之性質的,半正定埃爾米特矩陣N,矩陣方程
有唯一的埃爾米特解M,並且M是正定的。
定理1和系1的含義是,若A是漸近穩定的,且N正定或半正定,則(1)式的解M必為正定,但這並不是說,若A是漸近穩定且M是正定,由(1)式算得的矩陣N是正定或半正定的。
因定理1對於任何正定埃爾米特矩陣N均成立,故(1)式中的矩陣N常選為單位矩陣,由於M是埃爾米特矩陣,故其中有n2個未知數需要求解,若M是實對稱矩陣,則其中有n(n+1)/2 個未知數需要求解。因此,矩陣方程(1)實際上包含有n2個線性代數方程,為了套用定理1,我們必須對M求解n2個方程,隨後核查M是否正定,這些工作實非易事,因此,定理1及其系一般並不用來確定
的穩定性。然而,套用李亞普諾夫第二法研究非線性時變系統的穩定性時,定理1卻是至關重要的。
圖1  李亞普諾夫函式圖1 李亞普諾夫函式
現對李亞普諾夫定理作物理的解釋,若埃爾米特矩陣M是正定的,則
V(x)
x*Mx, (2)
的曲面呈碗形,如圖1所示.現在構想,沿著
的軌跡連續求取V的值,我們想知道,隨著狀態沿軌跡移動時, V的值是增加還是減小,沿著
的任何軌跡取V關於t的導數,得
其中N
-(A*M+MA)。上式給出了 V(x)沿著
的任一軌跡的變化率。若N是正定的,則-x*(t)Nx(t)恆為負,這就意味著,沿
的任何軌跡,V(x(t))將隨時間而單調下降,所以,當t→∞時,V(x(t))最終將趨於零,因V(x)為正定,故僅在x=0時有V(x)=0,由此斷定,若能找到以(1)式相互聯繫的正定矩陣M和N,則當t→∞時,
的每一個軌跡將趨於零向量。函式V(x)稱為
的李亞普諾夫函式,李亞普諾夫函式可以認為是距離或能量概念的推廣。如果狀態的“距離”沿著
的任何軌跡隨時間而減小,則當t→∞時,x(t)必將趨於零。

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