本性分量

本性分量是一個與密率有關的概念,零屬於任何本性分量。

基本介紹

  • 中文名:本性分量
  • 外文名:essential component
  • 適用範圍:數理科學
  • 概念:密率有關
簡介,零,密率,

簡介

本性分量是一個與密率有關的概念。
若有集合 B ,對任何集合 A ,其密率 d(A) 滿足
時,恆有
,則稱集合 B 為本性分量。若對任意集合 A,當其漸近密率
滿足
時,恆有
,則稱集合 B 為漸近本性分量。

零屬於任何本性分量 B,否則當
時,
,因而
與定義矛盾,設
,但
則稱 B 為 k 階基。以 A~B 表示集合 A 與 B 除有限個元素外彼此相同,反之記為
。若
,但
,則稱 B 為 k 階漸近基。顯然零屬於任何基。

密率

(density)
密率是數論中的一個重要概念,是與哥德巴赫猜想及華林問題有關的概念。
給定整數的集合
其中
,若用
表示 A 中不超過
的正整數的個數,即
,而
的下確界稱為 A 的密率,記為
,即
例如,集合
的密率
,集合
的密率
;而集合
的密率
.從密率的定義可得到它的一些簡單的性質:
1、若集合 A 不包含 1 ( 當
)時,
2、若
(即 A 從 a1起,是以 1 為首項,r 為公差的等差數列)則
3、每一個等比數列所成集合的密率是 0.
4、所有完全平方數組成的集合,密率是0.
5、如果
,而 A 包含 1,則對任給的
,一定可找到
,使得
6、集合 A 包含自然數全體的充分必要條件是
7、設 A、B 是兩個數集,令
(數論中集合相加均按此定義)則
更一般地有
此即由施尼雷爾曼(Шниpeльмап,Л.Г.) 於 1930 年引入的施尼雷爾曼不等式。
8、若
,則
一般地,當
時,有
這就是蘭道不等式。
1931 年,蘭道 (Landau,E.G.H.)猜想有上述不等式成立,但直到 1942 年才由曼 (Mann,H.B.) 給出證明。
1954 年,凱皮爾曼 (Kemperman) 給出了一個新的簡單的證明。

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