有限體積元法的L^2誤差估計和超收斂性研究

《有限體積元法的L^2誤差估計和超收斂性研究》是依託吉林大學，由李永海擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：有限體積元法的L^2誤差估計和超收斂性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李永海
• 依託單位：吉林大學

項目摘要

項目概述：.首先以兩點邊值問題為模型,確定恰當的對偶剖分方式使得有限體積元法（FVEM）具最佳L^2收斂階和超收斂性。並將其推廣到二維二階橢圓問題上，研究矩形網及任意凸四邊形網上乘積型FVEM的收斂性，使其同樣具有最佳的L^2收斂階和相應的超收斂性。同時探索三角網上高次元FVEM的最佳階L^2估計及超收斂性，當最佳的對偶剖分方式難於找到時，我們考慮修正有限體積元法的定義，使得對偶剖分方式變簡單而又能具有最佳L^2收斂階及其超收斂性。然後，研究線性拋物方程及線性雙曲型方程FVEM的超收斂性，主要需分析有限體積元解與真解的橢圓投影差的超收斂性，包括全離散及半離散兩種情形。然而，對於線性雙曲方程的已有的有限元格式，相應的有限體積元格式未必已被構造出來，我們需要構造相應的新格式，並給出收斂性及超收斂性分析。以上所有問題，我們都將通過數值實驗進行驗證，並給出嚴格的理論證明。

結題摘要

本項目主要研究了有限體積元法的L^2估計和超收斂性。第一，以兩點邊值問題為模型，構造了Lagrange型二次元、三次元、四次元有限體積法並研究了它們的L^2模誤差估計及超收斂性。第二，以二階橢圓型方程為模型，研究了一般四邊形網上的雙線性有限體積元法的最佳階L^2誤差估計及超收斂性；構造了最佳的雙二次有限體積元格式，並給出了收斂性及超收斂性的證明；建立了三角網上Lagrange三次元有限體積法，從理論分析和數值試驗兩方面驗證了格式的有效性；對於Lagrange二次元有限體積法，定義兩個參數控制對偶單元形狀，找到了一組恰當的參數值，利用這組參數值建立對偶格線，相應的有限體積元格式具有最佳的L^2模收斂階，並且在三角形單元頂點和邊中點處數值解的函式值具有超收斂性。第三，將求解橢圓型方程有限體積元法的構造思想推廣到拋物方程，證明了半離散及全離散線性元有限體積法的L^2估計及超收斂性，建立了矩形網上雙二次有限體積元法並給出了收斂性及超收斂性的理論分析。第四，我們還研究了二階雙曲型方程的有限體積元法，選取矩形單元內部的二階Gauss點最為對偶單元的節點，建立了最佳的有限體積格式並證明了該格式具有最佳的L^2收斂階及數值梯度的超收斂性。此外，我們還研究了有限體積元法的多水平預處理以及有限體積元法在Stokes方程中的套用。