有限衝激回響數字濾波器

有限衝激回響數字濾波器(finite impulse re¬sponse digital filter) 數字濾波器的單位衝激回響h(n)只含有有限個非零樣值的一類濾波器，簡記為FIR。它的一般實現為非遞歸型結構，故也稱為非遞歸型數字濾波器。

基本介紹

• 中文名：有限衝激回響數字濾波器
• 外文名：finite impulse re¬sponse digital filter
• 繁體：有限衝激響應數字濾波器
• 屬性：設備
• 用途：濾波
• 限制：有限
• 類型：衝激回響型
• 套用學科：通信

定義

有限衝擊回響數字濾波器具有絕對穩定的特性，易於直接根據脈衝回響技術條件進行設計；可以在逼近任意幅度特性的同時，實現對稱的脈衝回響；可以實現嚴格的線性相位特性。由於它具有以上諸優點，所以在數據通信和數字通信系統中，有著廣泛的套用。

有限衝激回響數字濾波器的設計，主要是使轉移函式H(z)在單位圓上的值H（e）逼近給定的幅度特性。常用的設計方法有：窗函式法、頻率採樣法和等波紋機助最佳化設計法等。有限衝激回響數字濾波器可用乘法累加器或通用數位訊號處理器（DSP)實時實現。

數字濾波器

對單位衝激的輸入信號的回響為有限長序列的數字濾波器。它的主要特點是具有精確線性相位特性。有限衝激回響數字濾波器一般實現為非遞歸型結構,因此,又稱為非遞歸型數字濾波器。非遞歸型濾波器具有絕對穩定的特性，而且，運算有限字長所產生的輸出噪聲也較小。按所處理信號的類型可分為一維有限衝激回響數字濾波器和二維或多維有限衝激回響數字濾波器。

數字濾波器（digital filter )通過對數位訊號的運算處理，改變信號頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。它可以用計算機軟體或大規模積體電路硬體實時實現。

原理 數字濾波器是一個離散時間系統。線性、時不變數字濾波器是最基礎的數字濾波器，其特性可描述為：設數字濾波器的輸入和輸出信號序列分別可以 由x(n)，y(n)，{n=0，1，2…}表示，則該數字濾波器的算法可由下列差分方程式表達即圖1.

圖1

分類 數字濾波器按其單位衝激回響h(n)性質分類，有有限衝激回響數字濾波器（FIR)和無限衝激回響數字濾波器(IIR)之分。有限衝激回響數字濾波器(FIR)一般輸出和輸入間無反饋路徑，亦稱非遞歸型濾波器，特性穩定。無限衝激回響數字濾波（IIR）輸入間有反饋路徑，故稱遞歸型濾波器，在係數取值不當時可能引起振盪。

數字濾波器還可以按其所處理信號類型分類，分為一維數字濾波器和二維或多維數字濾波器。一維數字濾波器處理單變數函式信號序列，例如，語音信號、時間函式的抽樣值。二維或多維數字濾波器處理兩個變數或多個變數的函式信號序列，例如，二維圖像的離散信號是平面坐標的抽樣值。

一般模擬濾波器是因果的、線性的和時不變的。也就是說，模擬濾波器在某一給定時刻的回響與在此時刻以後的激勵無關（因果性）；對單個或多個激勵信號的回響滿足線性條件（線性）；內部參數不隨時間而變化(時不變）。而數字濾波器則可以實現為因果的或非因果的，線性的或非線性的、時不變的或時變的。這就是數字濾波器具有靈活性、多變性和適應性的特點，它可以實現模擬濾波器所不能實現的功能。

使用方法 通信信號源常是連續時間信號，例如，語音信號和圖像信號。套用數字濾波器處理此類信號時，須先對所處理的信號進行限帶、抽樣和模-數變換，然後進行數字濾波。數字濾波器輸入信號的抽樣率應大於被處理信號頻寬的兩倍。這是因為數字濾波器的幅頻回響是以抽樣率為間隔呈周期重複的特性，並且是以摺疊頻率(1/2抽樣頻率點)呈鏡像對稱。為了保證濾波後輸出頻譜不發生混疊，必須滿足上述抽樣率要求。為得到輸出為連續時間信號，數字濾波器的輸出須經數模變換和平滑濾波。

設計 數字濾波器的設計理論和設計方法已很成熟。有限衝激回響數字濾波器可以實現嚴格的線性相位特性，並且保證絕對穩定。無限衝激回響數字濾波器設計時，應考慮穩定性問題，其轉移函式的極點必須保證位於Z平面的單位圓內。由於套用計算機輔助最佳化設計和仿真技術，目前，可以套用數字濾波器設計軟體包，根據給定技術指標，在計算機上自動化設計，給出滿足要求的設計結果。

實現和套用 隨著大規模和超大規模積體電路技術的進展，數字濾波器的實時硬體實現也發展得很快。原先套用存儲器和加法器實現的，現在可以用單片微處理器實現。要求處理速度較高，運算量較大的可以用單片通用高速數位訊號處理器(DSP)(含有乘法器）實時實現。高速或運算量大的可以用陣列處理器實現。產量大、小型化要求高的還可以設計成專用積體電路(ASIC)實現，

由於數字濾波器具有高精度、高穩定性、高可靠性、可復用、無介入衰耗，以及可實現嚴格的線性相位，所以在通信工程中有非常廣泛的套用。

例子

一維有限衝激回響數字濾波器 　又稱一維非遞歸型數字濾波器，處理單變數信號序列。其輸出y(n)可以直接由輸入序列x(n)和單位衝激回響序列h(n)褶積而得

y(n)=n(k)x(n-k)　(1)

式中N為數字濾波器單位衝激回響長度。 單位衝激回響h(n)的z變換H(z)為有限衝激回響數字濾波器的轉移函式

H(z)=n(n)z　 (2)

一維有限衝激回響數字濾波器實現為非遞歸型結構（圖1）。　有限衝激回響數字濾波器的設計，主要是使轉移函式在單位圓上的值

H()=n(n)z　(3)

逼近一個理想幅度回響Hd()。設計一維有限衝激回響數字濾波器常用的方法有：窗函式法、頻率採樣法和等波紋機助最佳化設計法。
窗函式法　設計有限衝激回響數字濾波器最直接的方法就是把無限衝激回響序列截短，得到有限長度的衝激回響。設所要求的理想頻率回響為Hd(),其單位衝激回響Hd(n)為Hd()的傅立葉反變換。Hd(n)是非因果無限長序列。為使得所設計的數字濾波器的有限衝激回響h(n)逼近hd(n)，採用對hd(n)加窗的方法，即令

h(n)=hd(n)w(n)　(4)

式中w(n)為有限長度窗序列。由褶積定理可求得所設計的濾波器的頻率回響為

(5)

式中W()為窗序列w(n)的頻譜函式。選取適當的窗序列可以得到對理想頻率回響Hd()的較佳逼近。常用的窗序列有矩形窗：

(6)

漢寧窗：

(7)

海明窗：

(8)

布萊克曼窗：

(9)

凱塞窗：

(10)

式中α為控制主瓣寬度和旁瓣電平的設計參數，

，

I(·)表示零階貝塞爾函式。圖2為上述五種窗函式的曲線。附表列出上述五種窗函式的性能參數。
除上述所列的五種窗函式外，尚有其他類型的窗函式。一般窗序列函式均可表示為閉函式形式，便於設計套用。 　頻率採樣法　頻域逼近的一種設計方法。由於有限長度衝激回響序列可以由同樣長度的頻域抽樣值唯一地確定，因此，對理想頻率回響可以在頻域取等間隔抽樣插入逼近。利用過渡帶抽樣值設為待定變數的自由度，套用線性規劃最佳化方法可以求得對理想頻率回響的逼近。
等波紋機助最佳化設計法　利用等波紋逼近方法，使逼近函式在整個頻率域內與理想頻率回響的誤差為最小，然後用雷麥茲法求解。這種方法雖然計算較複雜,但主要是利用計算機輔助設計，設計效率較高、效果較好。線性相位有限衝激回響數字濾波器的缺點是時延較大，如果不要求線性相位特性，可以設法將轉移函式在單位圓外的零點反演到單位圓內，設計成具有較小時延的最小相位有限衝激回響數字濾波器。
二維有限衝激回響數字濾波器 　通稱二維非遞歸型數字濾波器，用以處理二維數位訊號序列。其輸出可以由輸入的二維信號序列x(m,n)與單位衝激回響序列h(m，n)進行二維離散褶積求得

(11)

式中N1和N2分別為數字濾波器單位衝激回響的維長度。單位衝激回響h(m,n)的二維z變換H(z1,z2)為二維非遞歸型數字濾波器的轉移函式

(12)

二維非遞歸型數字濾波器與一維非遞歸型數字濾波器有相似之處。設計方法主要有窗函式法、變換法和等波紋機助設計法等。窗函式法的二維窗序列wⅡ(m,n)可以由一維窗序列wI(k)導出

(13)

窗函式法設計簡便，且不限於設計零相位數字濾波器。變換法是用變數代替法將一維零相位非遞歸型數字濾波器變換為二維非遞歸型數字濾波器。
這種設計方法比較複雜，且只限於設計零相位濾波器。等波紋機助設計法可以設計具有最佳特性的非遞歸型數字濾波器。