《有限因子中幾何對象的研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由袁巍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：有限因子中幾何對象的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：袁巍
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
運算元代數的主要研究對象是C*代數和von Neuamnn代數。長期以來，運算元代數學家一直將C*代數視為非交換的拓撲空間，而將von Neumann代數理解為非交換的測度空間。本領域中的許多概念都能在其它的數學分支中找到源頭。而歷史也向我們表明，將經典工具非交換化往往能對運算元代數這一學科的發展產生推動。2008年，葛力明和袁巍引入了KS-格的概念，即von Neumann代數的極小生成自反格。他們在研究過程中發現了一類具有自然幾何結構的格。本項目旨在通過對此類格的幾何性質的探討來加深對von Neumann代數結構的理解。同時，我們也希望能夠將更多的幾何概念引入到von Neumann代數的研究之中來。為此，我們將廣泛借鑑其它數學領域如：拓撲，幾何中的工具及方法來開展研究。
結題摘要
本項目旨在研究von Neumann代數中某些自反格的幾何性質，並同時探索運算元代數的結構。通過與項目的另一位參與者吳文明教授的合作，我們成功的解答了一些在項目申請之初提出的問題。項目組得到的成果如下： 1. 在一定限制條件下,中心序列代數非平凡的兩個II_1型因子張量積的中心序列代數仍是交換且非平凡的，我們同時構造了滿足證明條件的II_1型因子的例子。 2. 對隸屬於有限von Neumann代數的無界運算元，證明了Fuglede –Putnam定理。構造了附屬於某些II_1型因子的無界運算元,使其在該因子中有平凡的換位子,繼而在II_1型因子中構造了由4個非平凡投影構成的可遷子空間格。 3. 矩陣代數中非平凡交換KS-代數不能由單元生成。 4. 有限von Neumann代數中雙三角投影格決定的自反格給出了單位球面到該代數的嵌入。我們證明這些嵌入都是同胚的。同時對此類嵌入的微分性質也做了相應的討論。對取定的一個雙三角格決定的自反格，證明了因子中保持該各不變的自同構子群同構於的某個閉子群。特別的，若此格由三個非平凡的自由投影生成，則該群同構於3元對稱群。 5. 任意包含不可約單位元的剛性C* 張量小範疇可被實現為某個C* 代數的有限Hilbert雙模範疇的子範疇。 6. 任意包含不可約單位元的剛性C* 張量小範疇可被實現為自由群因子的模範疇的子範疇。
