最短路徑樹

最短路徑樹

最短路徑樹(Shortest Path Tree, SPT),是一種使用最短路徑算法生成的數據結構樹。

基本介紹

  • 中文名:最短路徑樹
  • 外文名:Shortest Path Tree, SPT
定義,相關算法,Dijkstra算法,Floyd算法,

定義

考慮一個連通無向圖
,一個以頂點
為根節點的最短路徑樹
是圖
滿足下列條件的生成樹——樹
中從根節點
到其它頂點
的路徑距離,在圖
中是從
的最短路徑距離。
在一個所有最短路徑都明確(例如沒有負長度的環)的連通圖,我們可以使用如下算法構造最短路徑樹:
使用Dijkstra算法Floyd算法計算圖 G 從根節點 v 到 頂點 u 的最短距離
對於所有的非根頂點
,我們可以給
分配一個父頂點
連線至u且
。當有多個
滿足條件時,選擇從v到
的最短路徑中邊最少的
。當存在零長度環的時候,這條規則可以避免循環。
用各個頂點和它們的父節點之間的邊構造最短最短路徑樹。
上面的算法保證了最短路徑樹的存在。像最小生成樹一樣,最短路徑樹通常也不只有一個的。在所有邊的權重都相同的時候,最短路徑樹和廣度優先搜尋樹一致。在存在負長度的環時,從
到其它頂點的最短簡單路徑不一定構成最短路徑樹。

相關算法

Dijkstra算法

設定兩個定點的集合T和S,集合S中存放已找到最短路徑的定點,集合T中存放當前還未找到的最短路徑的定點。初始狀態時,集合S中只包含源點v0然後不斷從集合T中選取到定點v0路徑長度最短的頂點u加入集合S,集合S中每加入一個新的頂點u,都要修改定點v0到集合T中剩餘頂點的最短路徑長度值,集合T中每個頂點新的最短路徑長度值為原來的最短路徑長度值與定點u的最短路徑長度值加上u到該頂點的路徑長度值中的較小值。此過程不斷重複,直到集合T的頂點全部加入到集合S為止。

Floyd算法

從代表任意兩個節點
距離的帶權鄰接矩陣D(0)開始,首先計算D(1),即計算Vi到Vj經過一次經轉的所有可能路徑,經過比較後選出最短路,代替D(0)中對應的路徑,疊代列出距離矩陣D(1),D(1)中各元素表示通過一次疊代後網路中任意兩點間最短路,也即網路中任意兩點之間直接到達或只經過一個中間點時的最短路。在此基礎上依次計算D(2),D(3),…,D(k),D(k)中對應的元素表示任意兩點間不經過中間點或最多允許經過2k+1箇中間點時的最短路。當D(k+1)=D(k)時,表明得到的帶權鄰接矩陣D(k)就反映了所有頂點對之間的最短距離信息,成為最短距離矩陣。

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