最嚴謹檢驗

最嚴謹檢驗亦稱最緊迫檢驗，是指功效與一切可能檢驗的最大功效之絕對差最小的檢驗。

基本介紹

• 中文名：最嚴謹檢驗
• 外文名：most strict test
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（檢驗假設）
• 別名：最緊迫檢驗

基本介紹

對於區分基本假設 和對立假設 的檢驗問題，以 表示檢驗 的功效函式。對於給定的 ，記

其中 表示對一切水平α的檢驗ᵠ求上確界 (或最大值)。對於任意θ∈Θ₁， 是一切水平α的檢驗所能達到的最大功效。水平為α的檢驗ψ稱做最嚴謹檢驗，如果它滿足

其中 表示對一切可能的檢驗ᵠ求下確界 (或最小值)。一致最大功效檢驗，都必定是最嚴謹檢驗。

無偏方差

幾個可估參數的值都為0的統計假設H，叫做（一般）線性假設(linear hypothesis)。對滿足線性假設H的 的全體是由 矩陣B的列向量張成的Ⅱ_A的子空間Ⅱ_B。設Ⅱ_B的維數（B的秩）為s—-r。設 矩陣C的列向量張成的子空間Ⅱ_C只與Ⅱ_B在原點相重，且Ⅱ_B與Ⅱ_C張成Ⅱ_A。這樣模型(1)可用k₁維向量 和k₂維向量 寫做

(2) ，從而假設H成為“ ”。X到Ⅱ_B的射影記作Z=P_BX，則 等於向量Y—Z的長度的平方，且是對假設H的誤差平方和。由於 在H成立時是 的無偏估計，所以 叫做無偏方差(unbiasedvariance)。

線性假設的標準型

設B’C=0，選取R中的正交變換U，使UB的第1，…，r，s+1，…，n行和UC的第s+1，…，n行都為0。令 ，則(2)成為 。若X滿足條件a)和b)，則 也滿足這些條件。若再假定條件c)，則X也繼承這一條件。假設H成為“ ”，這種模型叫做線性假設的標準型(canonical form)。在這模型中，我們有 ，以及進一步有 ，若且唯若H為真確。

在條件a)，b)和c)下，最小二乘估計量Y是 的極大似然估計量，並且X～Y，Y—Z和Z互相獨立且分別服從n維常態分配 和 。因此 和 分別服從非中心參數為0， 和

以及自由度為n-s，r和s-r的非中心 分布。假設H的似然比檢驗，是以 為臨界域的檢驗。這個檢驗既是一致最大功效不變檢驗，又是最緊迫檢驗，並在功效函式有單一變數 的檢驗中，是一致最大功效的。特別當s一r=1時，這個檢驗是一致最大功效無偏檢驗， 的置信區間由滿足 ，或等價地對任意的 ，滿足

的所有 的集合給出。如果存在一個 ，使置信區間 不覆蓋0，就拒絕假設H，那么這就是上述的似然比檢驗。（另一種區間估計是由J.W.Tukey提出的。）這樣，分解式

叫做方差分析(analysis of variance)，列於表1的所謂方差分析表(anaiysis-of-variance table)中 。

在(1)中，當W的協方差矩陣 ( 是未知參數， 是已知矩陣)時，使 為最小的 叫做廣義最小二乘估計量(generalized least-squaresestimator)。這個估計量與上述最小二乘估計量有相同的性質。此外，在(1)中，若A是已知的n×k矩陣， 是未知的k×p矩陣，以及W是各行互相獨立服從p維常態分配 的n×p矩陣（從而X也是以隨機變數為元素的n×p矩陣），則這個模型叫做多元線性模型。

表1

因素	平方和	自由度	均 方
HB誤差		r
		s-r
		n-s
總和		n