更新密度(renewal density)是一種導數。更新函式的導數稱為更新密度。它有如下的機率解釋：對於很小的Δt>0，m(t)Δt近似地給出在區間(t，t+Δt)中的平均更新次數。
基本介紹
- 中文名：更新密度
- 外文名：renewal density
- 領域：數學
- 學科：機率論
- 性質：更新函式的導數
- 對應過程：更新過程
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概念
更新密度(renewal density)是一種導數。更新函式的導數：
更新函式
更新函式是一種數學期望。更新過程{N(t)，t≥0}在區間(0，t]中的更新次數的數學期望M(t)=E[N(t)](作為變元t的函式)稱為更新函式。
更新過程
更新過程是一類隨機過程。是描述元件或設備更新現象的一類隨機過程。設對某元件的工作進行觀測。假定元件的使用壽命是一隨機變數，當元件發生故障時就進行修理或換上新的同類元件，而且元件的更新是即時的(修理或更換元件所需的時間為零)。如果每次更新後元件的工作是相互獨立且有相同的壽命分布，令N(t)為在區間(0，t]中的更新次數，則稱計數過程{N(t)，t≥0}為更新過程。在數學上更新過程可簡單地定義為相鄰兩個點事件(即更新)的間距是相互獨立同分布(但從原點到第一次更新的間距T1可以有不同分布)的計數過程。根據T1的分布情形更新過程又分為普通更新過程，延遲更新過程和平衡更新過程三類。更新過程也可用過程的事件間距序列{Tn，n≥1}給定，這時N(t)和Tn有如下關係∶N(t)=sup{n：Sn≤t}和Sn=inf{t：N(t)=n}，其中：
隨機過程
隨時間推進的隨機現象的數學抽象。設(Ω，ℱ，P)為機率空間，T為指標t的集合，如果對每個t∈T，有定義在Ω上的實隨機變數X(t)與之對應，就稱隨機變數族X={X(t)，t∈T}為一隨機過程。
人們對一些特殊的隨機過程早有研究。1907年前後，俄國數學家馬爾可夫提出並研究一種能用數學分析方法研究自然過程的一般圖式，後人稱這種圖式為馬爾可夫鏈。1923年，美國數學家N.維納從數學上定義了布朗運動，後來也稱數學上的布朗運動為維納過程。這種過程至今仍是隨機過程的重要研究對象。通常認為，隨機過程一般理論的研究於20世紀30年代才開始。1931年，原蘇聯數學家柯爾莫戈羅夫發表了《機率論的解析方法》;1934年，辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程和平穩過程奠定了理論基礎。稍後，法國數學家萊維從樣本函式角度研究隨機過程，引進一般可加過程並研究了它的樣本函式結構，他出版的關於布朗運動與可加過程的兩本書中蘊含著豐富的機率思想。1953年，美國數學家J.L.杜布出版的著作《隨機過程論》中系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。他的工作推動了鞅理論的發展。1953年日本數學家伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論，定義了對布朗運動的一種隨機積分——伊藤積分，為研究馬爾可夫過程開闢了新的道路。近年來由於鞅論的進展，人們討論了關於半鞅的隨機微分方程，而流形上的隨機微分方程理論正方興未艾。20世紀60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面都做出了較好的工作。
數學期望
需要注意的是，期望值並不一定等同於常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結果都不相等。期望值是該變數輸出值的平均數。期望值並不一定包含於變數的輸出值集合里。
大數定律規定，隨著重複次數接近無窮大，數值的算術平均值幾乎肯定地收斂於期望值。
如果隨機變數只取得有限個值或無窮能按一定次序一一列出，其值域為一個或若干個有限或無限區間，這樣的隨機變數稱為離散型隨機變數。
機率論
機率論是數學的一個分支，是研究隨機現象的統計規律性的一門學科。在自然界和社會中，某種在固定條件下可能出現不同結果的現象稱作隨機現象(一個隨機現象中可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件)。在這些現象中個別結果出現與否，具有偶然性。但在固定條件下重複實施多次，該事件發生的頻率總是趨於一個固定的數值P。這一數值P就是隨機事件的機率，它是事件發生可能性的度量。這種由大量觀測得到的規律稱為統計規律。統計規律是客觀規律的一種，反映了事物內部固有的屬性。例如，投擲一枚硬幣，可能有兩個結果：落地時正面朝上或者反面朝上。若不斷重複投擲一枚硬幣， 正面朝上和反面朝上的頻率卻是趨於1/2，這反映了硬幣結構的均勻性;反之，若頻率明顯偏離1/2， 硬幣結構必然是不均勻的。機率論作為一門科學是從17世紀開始的。法國的巴斯噶和費爾瑪首先研究了機率論的基礎。1713年端士的雅貝努利出版了機率論的第一本專著《猜度術》。1733年英國的德·穆阿佛爾發現正態機率曲線。1812年拉普拉斯出版了《分析機率論》，成為近代機率論的先驅。1902年法國數學家勒貝格創立的積分與測度理論，為近代機率論的發展奠定了基礎。1933年蘇聯的柯爾莫哥洛夫提出機率論的公理化體系，提出並完成了著名的強大數定理的推論。公理化體系標誌著機率論已成為一門成熟的數學學科，同時也是近代機率論的出發點。1942年N·維納建立了統計動力學，使機率論進一步得到完善。近年來，機率論發展很快，形成了幾個重大的分支，如極限定理、隨機微分方程等。機率論在自然科學領域已起著巨大的作用，並且已被人們套用到社會科學領域，對於研究和揭示社會中大量隨機現象及其規律性也有更重要的價值。
