時間相關法

時間相關法(time-dependent methods)是將偏微分方程(組)邊值問題化為初邊值問題求解的一種數值解法。物理學中大多數定常態問題，數學上大都表述為定常偏微分方程(組)的邊值問題；動態問題則用非定常偏微分方程(組)的初邊值問題來描述。若時間無限增大時，非定常問題若有穩態解，則此穩態解可視為相應定常問題的解，這就是時間相關法的基本思想。在這種意義上，時間相關法又稱穩定法。

基本介紹

• 中文名：時間相關法
• 外文名：time-dependent methods
• 性質：數值解法
• 相關概念：定常問題、邊值問題等

基本介紹

下面舉一簡單例子來闡明時間相關法的數學描述，考慮矩形區域上的拉普拉斯方程第一邊值問題

其中為區域G的邊界，為已知的邊值函式，對問題(1)可構造一個熱傳導方程的初邊值問題

其中為任意給定的初始函式。假定是定常問題(1)的解，是非定常問題(2)的解。可以證明：當時間時，

在一般的非線性方程情況下，要嚴格證明解的收斂性是困難的。在實際問題中，定常偏微分方程(組)往往是非線性、混合型的，直接用離散方法求其邊值問題的數值解極為困難；非定常方程(組)雖增加一個時間變數，但其數學類型單一，便於構造普遍適應的數值解法，因而問題變得更容易解決，時間相關法的基本思想表明，數值求解過程完全對應於真實的物理過程。由於此法有明確的物理意義，適定的數學提法及普適的數值解法，在流體力學中被廣泛用來計算跨音流和複雜的定常流動問題。

在流體力學方面的套用

時間相關法是引進時間相關項，將邊值問題變為初-邊值問題來求解。時間相關法雖然所採用的是非定常方程，但所求解的不是非定常問題。非定常問題是根據給定的初始條件研究流動隨時間的演變過程。這種非定常的行徑與所給的初始條件密切相關。而時間相關法的初值，只要滿足定常問題的邊界條件，是任意選取的。在求解的過程中流動隨時間的變化並不代表真實的物理過程，人們也並不關心。當時間足夠長之後，未知函式逐步與時間無關，最終漸近地達到穩態，這個達到穩態的解，就是所求的定常解。作為定常問題，人們所關心的也就是這個達到穩態的定常解。所以時間相關法實質是定常問題的一種選代法，時間變數只不過是用來記錄疊代的次數而已。

Laplace方程差分邊值問題的簡單疊代格式實際上就是二維純擴散方程的FTCS格式，只要取定就是。同樣我們也可以由二維純擴散方程的FTCS格式取定便可得到Laplace方程差分邊值問題的簡單疊代格式。這說明用疊代法求解定常的差分邊值問題的收斂解和用差分法求解與時間相關的邊值問題達到漸近穩態的解是等價的。對於其它類型的定常問題也有類似的等價性。

定常問題差分方程的疊代格式實際就是加上時間相關項後不定常問題的某個差分格式，定常差分方程邊值問題的疊代收斂解就是不定常差分格式的漸近穩態解。因此我們也可以這樣來考慮問題，就是將本來是定常的問題，其微分方程加上時間相關項，作為不定常問題來直接差分求解。這樣求得的漸近穩態解，就是原定常問題的差分疊代解。並且我們知道，在將定常問題變為一個不定常問題時，只要保持原來定常問題的邊界條件，初始條件的給定是無關緊要的，具有一定的隨意性。這種將定常問題直接變為其相關的不定常問題來差分求解的方法，稱為時間相關法。