施泰納一萊默斯定理

施泰納-萊默斯定理(Steiner-Lehmus theorem)是幾何學史中一個著名的定理，若一個三角形的兩條內角平分線相等，則此三角形是等腰三角形。這個命題是1840年萊默斯(C.L.Lehmus)在給斯圖姆(C.-F.Sturm)的一封信中提出的，他希望能用純幾何的方法證明，施泰納(J.Steiner)首先給出證明，施泰納的原證相當複雜，此後乃至近100年間還有這方面的文章，可見這個定理是何等引人入勝。

基本介紹

• 中文名：施泰納一萊默斯定理
• 外文名：Steiner-Lehmus theorem
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 提出者：萊默斯(C.L.Lehmus)

基本介紹

施泰納-萊默斯定理(Staeiner-Lehmus theorem) 有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形。

這個問題是萊默斯(C.L.Lehmus)於1840年給瑞士著名數學家斯圖姆的一封信中提出的，請求給出一個純幾何的證明，斯圖姆向許多數學家提起過這件事。首先回答這個問題的是瑞士的幾何學家施泰納，後來這個定理就以施泰納一萊默斯定理聞名於世，由於施泰納的證明複雜，因而吸引了很多人去尋找更為簡單的證法，從而在1842至1864年間形成了證明施泰納-萊默斯定理的熱潮，乃至於在各種雜誌上出現了大量的證明論文，並在其後的一個世紀中，還經常有這方面的文章出現。

間接證法

下面給出的證法，是兩個英國工程師G.Gilbert和D. Macdonnell提出，在1963年《美國數學月刊》上發表的。

圖1

設BM、CN是△ABC的兩條角平分線，且BM = CN，假設∠B≠∠C，不妨設∠B<∠C，則有

在BM上取一點M'，使

∴∠M'CN=∠M'BN，故B、C、M'、N四點共圓。

∴CN<M'B(同圓或等圓中兩圓周角都是銳角，則較小角所對的弦較短)。

於是有 CN<BM'<BM，這與題設CN=BM矛盾，故應有∠B=∠C，所以△ABC是等腰三角形。

圖2

考察上面的證法，可得一個更為廣泛的定理：“設D、E分別是OABC兩邊AC、AB上的點，記∠ABD=α，∠DBC=α₁，∠ACE= β，∠ECB=β₁，如果α:α₁=β:β₁=t，且BD =CE，則AB= AC。”顯然，當t= 1時，就是斯泰納萊默斯定理。

直接證法

上面採用的是間接證法(即反證法)，同樣該定理也可採用直接證法來證，如圖3，把△BNC契約變換為△PBM，得MP = BC，∠PMB = β，∠PBM=∠BNC，PB= BN，於是

∠PMC=∠PMB+∠BMC

= β+(π-α-2β)

=π-α-β，

∠PBC=∠PBM+∠MBC

=(π-β-2α)+α

=π-α-β，

圖3

而α+β=1/2(π-∠A)<π/2，故∠PMC=∠PBC為鈍角。

又由MP=BC，PC=CP，於是△PBC≌△CMP，從而CM=PB = BN，故△NBC≌△MCB，α= β，因此AB = AC。

若採用計算方法來證明，則思路直接，易於理解掌握，但有時計算比較繁雜，我們記△ABC的三邊BC、AC、AB之長各為a、b、c，由面積關係，得

所以

同理

由已知BM= CN = t，得

如果α< β，則上式左端為正，但c > b，於是右端為負；若α>β，則左端為負右端為正，這都是不可能的，故只有a= β。

由上面的證明，順便可得到三角形內角平分線的計算公式：

當然，如果利用上述三角形內角平分線的公式和BM = CN，並直接通過計算，那么就可得到b=c，這裡也許更體現了計算證法的特點。