基本介紹
- 中文名：方圓數學方法
- 創立人：孫建新老師
- 性質：數學方法
- 特點：高效而實用
- 功能：解讀數學概念
方圓數學方法概述,“方圓”功能,“方圓”特點,“方圓”目標,“方圓”數學方法實踐舉例,“方圓”在數學基礎知識上的實踐。,“方圓”在數學解題方法技巧上的實踐。,“方圓”在數學知識難點突破上的實踐。,“方圓”在數學抽象概念通俗化的實踐,“方圓”在數學公式的套用上的實踐。,“方圓”在數學定義的理解上的實踐。,“方圓”在數學知識性質套用方面實踐,“方圓”數學方法推廣,
方圓數學方法概述
數學的數量關係和空間形式都可以理解為結構，而數學學習就是對數學符號的學習，表現為對符號的處理。把符號搭建成種種數量或空間結構再用記號“□○”解讀就是方圓數學方法。
“方圓”功能
“□○”是對數學符號語言的再表示，用以解讀數學概念、數學關係、數學符號的新型輔助記畫符號，是對數學學習和教學的一種有效方法。最大的優勢是可以使數學概念、數學關係、數學符號的一般性、抽象性、簡潔性達到直觀、形象、清晰，自然地外顯。
數學解讀符號“□○”的作用主要包括：表示數量關係（規律）,表示公式、解釋關係，說明規律；延伸思維過程,通過實施運算和推理；藉助“□○”符號，人們可以將看不見的思維過程轉化為可視的符號操作過程，便於深入進行思維。解決問題,用於建立數學模型的基礎，推測結論。
例：加法交換律可以表示成 □+○=○+□ 能更好地體現這個運算律的含義. 因為對於現行教材中的：a+b=b+a，大部分學生不能把它理解為：（a+b）+c=c+（a+b）；
“□○”在高中數學學習及教學中更能體現出其優越性。如：f(x+1)=2x+3即f(x+1)=2(x+!)+1，解讀為f(○)=2○+1 ，其中○=x+1即f(x)=2x+1
“方圓”特點
“□○”數學解讀符號具備的特點:
一是簡潔性，也正像是數學符號簡化了複雜的數學理論,且把遠離的數學理論巧妙地聯繫起來.數學解讀符號“□○”使數學學習和教學的過程得以簡化；
二是直觀性，直觀明了地告知信息，使解決問題的思路順暢，提高效率；
三是一般性，改進表述方式、方法，即創造性改寫符號，不改變其結構和本質,簡化敘述, 準確、直觀地提取抽象模型。
“方圓”目標
符號感建立、培養、套用。
1.重視情境教學,幫助學生去認識與理解符號感，體驗情境中對符號的需求,引導學生去感知與頓悟，遵循認知規律、滲透數學思想方法,循序漸進地讓學生建立並發展符號感.應鼓勵學生用自己獨特的方式表示具體情境中的數量關係和變化規律．給學生提供機會經歷“從具體事物→學生個性化的符號表示→學會數學地表示”這一逐步符號化、形式化的過程．利用實踐性課程，讓學生參與解決問題的實踐活動，親身體會符號的優越性．
2.個人技能提升。在數學學習中 “符號感”的建立及培養是重點任務。因為在形成後的”符號感”運用中能培養綜合概念技能，能夠啟發將同一或類似概念套用到其他地方；能使數學的學習或教學做得更快、更好、更輕鬆；以至於能培養套用於你所做一切事情的個人技能和態度。
“方圓”數學方法實踐舉例
“方圓”在數學基礎知識上的實踐。
例1：已知f(x)=x^2+2x，求f(x-1)的解析式。
□○解讀: f(x)=x^2+2x等價於f( ○)= ○ ^2 + 2 ○，把x-1看成○
解：f( x-1 )=(x-1)^2 + 2(x-1)=x^2 - 1
練1：已知f(x+1)=2x-3，求f(x)的解析式。
答案：f(x)=2x-5
“方圓”在數學解題方法技巧上的實踐。
例2：若f (m+2)=2m-3,求 f^-1(5)=___
□○解讀:: 假設式子f^-1(5)= □
，它等價於f ( □ )=5 ；這裡利用了反函式的反思維。
又f (m+2)=2m-3
所以, 2m-3=5 且m+2=□，
解得,m=4 ，□=4+2=6即f^-1(5)=6。
練2：已知f(1/x)=1/(x+1)，求f(1/2)=___ 答案：1/3
“方圓”在數學知識難點突破上的實踐。
例3：已知數列a↓n中，a↓n=3a↓n-1 + 2(n>1)，求a↓n。
分析：由a↓n=3a↓n-1 + 2變形得
a↓n +1=3(a↓n-1 +1)
□ ○表示：若塗畫（a↓n +1）為□↓n，
則（a↓n-1 +1）=□↓n-1
從而，□↓n=3 □↓n-1 即新數列□↓n為等比數列。
“方圓”在數學抽象概念通俗化的實踐
例4：已知f(x+1)的定義域是[1 , 2],求f(x)的定義域。
□○解讀：定義域：指自變數 x的取值範圍（受式子意義和實際意義的限制） 。對應法則不變性指條件中的函式f ( )和要求的問題中的函式f( )是同一映射；根據對應法則不變性可得到f ( )中括弧的取值範圍不變。
解： 因為f(x+1)的x的取值範圍[1,2],( )里的取值範圍是[2,3]
所以f(x)的( )里的取值範圍也應是[2,3] ,也就是
f(x)的x的取值範圍[1,2],即f(x)的定義域是[1,2]。
練4：①已知f(x)的定義域是[2 , 3],求f(x+1)的定義域。
解： f(x+1)中的x ∈[1 , 2], x+1∈ [2 , 3] 根據對應法則不變性
f (x) 中的 x ∈ [2 , 3],
即 f (x)的定義域是[2 , 3]
②已知函式f(x)的值域是[1,2],求函式f(x-2)的值域。
□○解讀：根據對應法則不變性，由已知知道f(□)∈[1,2] ，令□=x-2 答案：[1,2]
“方圓”在數學公式的套用上的實踐。
例5：解不等式|2x-1|<3
□○表示：把2x-1看成□，|□|<3的解先表示為-3<□<3
則-3<2x-1<3 ，解得，-1<x<2
練5：化簡：(a-b+c)(a+b-c)=
□○解讀：平方差公式：(□+○) ( □-○) =□^2-○^2
解：把 a看成□，b-c看成○，則
原式=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc
“方圓”在數學定義的理解上的實踐。
例6：已知y-1與x成正比例函式，當x=1時,y=3，求y與x的函式解析式。
□○解讀：正比例函式：形如y=kx (k為不等於零的常數)
若□與○成正比例函式，則 □=k○
y-1與x成正比例函式 表示為 y-1=kx
再用待定係數法——設、列（有點就有坐標,有坐標就有方程）、解、寫四步驟。
“方圓”在數學知識性質套用方面實踐
例7：求y=sin(2x+π/3)的對稱軸方程。
□○解讀：根據正弦函式圖象性質：y=sin□的對稱軸方程是□ =π/2+kπ得，2x+π/3=π/2+kπ，
解得x=π/12+kπ/2
（k∈Z）
“方圓”數學方法推廣
（1）加法交換律： □+○=○+□
（2）例：下列函式一定與f(x)=2x是同一函式的序號是（ ①②③ ）
① f(t)=2t ②f(□)=2□
③f(○)=2○ ④f(x+1)=2(x+1)
□○解讀：定義域和解析式分別相同的函式是同一函式
解： ①中的t取值範圍、②中□的取值範圍、③中○的取值範圍 都是全體實數； ④中x的取值範圍（仿例4求法）也是全體實數；①②③的解析式與已知f(x)=2x也相同。但④的解析式與條件中不相同。
