《數據降維中約束矩陣跡問題的理論與高效數值方法》是依託湖南大學，由雷淵擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：數據降維中約束矩陣跡問題的理論與高效數值方法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：雷淵
- 依託單位：湖南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
隨著信息化技術的快速發展及其廣泛套用，使具有高維數的非結構化數據信息大量出現。同時，維數的膨脹導致了嚴重的維數災難問題，而降維方法是克服這一問題的有效手段。本項目所研究的約束矩陣跡最小化問題和跡比最大化問題來源於各種高維數據降維方法，其高效數值求解方法研究是降維處理的一個重要內容，將直接影響到降維方法的實用性和處理結果的有效性。本項目系統研究這兩類約束矩陣跡問題，特別是欠採樣情況下的可解性理論和擾動理論，探討解的存在性條件，深入刻畫解的結構與性質，在此基礎上，設計出高效、穩定的數值求解方法，及其相應的疊代加速技術和預處理方法。進一步，對噪聲敏感的數據降維方法，建立合理、魯棒的正則化模型，並最終為相關工程技術領域提供分別適應於各類數據降維方法的數學理論和高效、穩定、可信的數值求解方法。
結題摘要
降維方法是用來克服“維數災難”問題的典型數據處理技術，它在數據可視化、數據壓縮、模式分類與識別、計算機視覺等眾多研究領域中扮演著重要的角色。本項目主要針對來源於各類高維數據降維處理方法的約束矩陣跡最小化問題、矩陣跡比最大化問題及其擴展問題，在可解性理論、高效算法設計以及欠採樣正則化模型等方面展開了系統研究，取得的主要研究結論和成果如下: (1) 約束矩陣跡最小化問題是相應的約束矩陣方程最小二乘問題的一個特例。本項目研究了兩類約束矩陣方程最小二乘問題，得到了這兩類問題解的判定條件，給出了求解的疊代算法及相應的預處理方法，並通過數值算例驗證了算法的有效性。在此基礎上，開展了相關問題的套用研究，將所研究問題的理論方法和數值方法套用於解決圖像處理以及人體姿態估計等實際科學工程問題。(2) 研究了約束矩陣跡比和最大化問題，通過將該問題等價轉化為關於單變數的非凸矩陣最佳化問題，給出了求該問題的全局最大解的數值方法，並通過數值實驗驗證了該方法的有效性。(3) 研究了欠採樣情況下，約束矩陣跡比最大化問題的正則化模型。根據數據樣本的非線性性，利用降維數據和子空間的距離作為模型的正則項，構造了一類不依賴參數選擇的正則化模型，給出了求解該模型的疊代算法，證明了該算法的收斂性。(4) 研究了大規模數據處理、圖像壓縮等領域中的多重測量向量（MMV）的稀疏表示問題。利用矩陣譜範數次微分的性質，構造了一個與矩陣相關的收縮運算元，並由此得到了MMV-ADM算法的一個收斂定理，並進一步通過數值實驗驗證了MMV-ADM算法恢復多重測量向量的有效性。
