數學基礎(修訂版)

數學基礎(修訂版)

《數學基礎(修訂版)》是2018年高等教育出版社出版的圖書,作者是汪芳庭。

基本介紹

  • 中文名:數學基礎(修訂版)
  • 作者:汪芳庭
  • 出版時間:2018年10月
  • 出版社:高等教育出版社
  • 頁數:281 頁
  • ISBN:9787040502428
  • 定價:35.6 元
  • 裝幀:平裝
內容簡介,圖書目錄,

內容簡介

《數學基礎(修訂本)》在介紹數學基礎的歷史之後,系統講述現代數學主體的基礎-ZFC集論,其中重點詳述四種數(自然數、實數、序數和基數)的理論。實數的構造與傳統的Dedekind分割和Cantor基本序列等構造方法不同,採用了算術超濾分數構造法。
本書適合高等學校數學類專業本科生或研究生用作教材或教學參考書,也可供哲學和理工科其他專業的師生或研究人員參考。

圖書目錄

前輔文
第一章 歷史概述
S1.1 歐幾里得幾何
1.1.1 《幾何原本》的學術背景
1.1.2 幾何學——古希臘數學的主體
1.1.3 演繹證明的範本
S1.2 皮亞諾(Peano) 自然數理論
1.2.1 分析數學——數學的新階段
1.2.2 分析數學的基礎危機
1.2.3 分析算術化
1.2.4 分析數學中的無限
1.2 附1 幾何學自身的重大變革
1.2 附2 虛數是怎樣進入數學的
1.2 附3 皮亞諾算術的適當展開
S1.3 ZFC 集論
1.3.1 康托爾集論與集論誕生時期的風暴
1.3.1 附1 康托爾辯辭錄: 數學的自由與制約
1.3.1 附2 戴德金為創建集論所作的貢獻
1.3.2 集論悖論與基礎危機
1.3.3 數學可否歸為邏輯
1.3.4 直覺主義簡介
1.3.5 希爾伯特規劃與哥德爾不完備性定理
1.3.6 ZFC 集論脫穎而出
S1.4 本章小結
第二章 邏輯準備
S2.1 命題演算初步
2.1.1 命題連線詞
2.1.2 真值表與永真式
2.1.3 真值方程組
$^*$2.1.4 命題連線詞的完全組
S2.2 謂詞演算簡介
2.2.1 謂詞演算語言
2.2.2 什麼是數學證明
2.2.3 數學形式系統舉例——形式算術
第三章 集論基本概念
S3.1 ZF 語言
S3.2 外延公理與內涵公理
S3.3 無序對公理
S3.4 並集公理與冪集公理
S3.5 關係與映射
3.5.1 Descartes 積(Cartesian product) 集
3.5.2 關係
3.5.3 映射(函式)
3.5.3 附 單值化原則
S3.6 無限公理
3.6.1 最小歸納集omega $
3.6.2 歸納定義
3.6.3 鴿籠原理
第四章 什麼是實數
S4.1 等價關係與分類
4.1.1 等價關係
4.1.2 等價類
4.1.3 選代表原則與選擇公理
S4.2 bf N ^2$ 的一個重要分類
4.2 附 由哪些自然數性質推出了整數性質
S4.3 重要練習一:bf Z \times (\bf Z -\0)$ 的一個分類
S4.4 算術超濾與算術模型
4.4.1 bf N $ 上的濾子與超濾
4.4.2 超濾變換
4.4.3 用非主算術超濾構造的算術模型
4.4.4 自然數數列的延伸
4.4.5 小結
S4.5 一種特殊的非Archimedes 序域------ 從$^\ast \hN$ 到$^*\hQ$
S4.6 重要練習二: bf Q _<$ 的一個分類
S4.7 什麼是實數
第五章 結構與模型
S5.1 結構的概念與語言
S5.2 同構與同態
S5.3 理論與模型
5.3 附1 完備序域的(同構) 唯一性
5.3 附2 模型原理
5.3 附3 $^*\bf N $ 對bf N $ 的保真性
第六章 勢
S6.1 等勢
S6.2 不同大小的實無限
S6.3 Cantor-Bernstein 定理
S6.4 關於可數集的結論
6.4 附 可數集性質的另一常用表述
S6.5 勢的性質與選擇公理
S6.6 連續統假設
第七章 良序結構與超限歸納法
S7.1 偏序
S7.2 全序
S7.3 良序
7.3 附 良序指標集
S7.4 超限歸納法
S7.5 關於結構delimiter "426830A \omega ,\in \delimiter "526930B $ 的練習
第八章 序數
S8.1 序數的概念及一般性質
S8.2 後繼序數與極限序數
S8.3 替換公理
S8.4 關於序數的超限歸納法
8.4 附 bf On $ 上的遞歸定義
S8.5 集的號碼庫——Hartogs 數
S8.6 正則公理
8.6 附 集宇宙的形象
第九章 選擇公理
S9.1 選擇公理的特殊性
S9.2 良序原理
S9.3 Zorn 引理
S9.4 選擇公理的地位及套用例子(濾子擴張原則)
第十章 基數
S10.1 基數概念
S10.2 基數算術
10.2附1 序數與基數的加乘運算的關係
10.2附2 連續統假設(CH) 蘊涵非主算術超濾存在
*S10.3 正則基數與奇異基數
S10.4 基數計算例子:omega $ 上超濾空間有多大
第十一章 結束語
部分練習題與思考題提示或解答
參考文獻
名辭彙集
符號匯集

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