數學三維投影

數學三維投影是將三維空間中的點映射到二維平面上的方法。由於絕大多數圖形數據的顯示方式仍是二維的，因此三維投影的套用相當廣泛，尤其是在計算機圖形學，工程學和工程製圖中。

基本介紹

• 中文名：數學三維投影
• 分類：線性代數、立體幾何
• 領域：數理科學

分類

三維圖形平面投影

• 平行投影：投影中心與投影平面的距離是無限的，投影線相互平行
• 正投影（正交投影）：投影線垂直於投影平面
• 多視圖投影：物體的坐標面與投影面平行，正視圖、側視圖、俯視圖
• 軸測投影：物體的三個坐標面或坐標軸與投影面均不平行
• 正等軸測投影（正等測）：投影時三個坐標軸等比例縮放，投影面坐標軸夾角120°
• 正二軸測投影（正二測）：投影時兩個坐標軸等比例縮放，第三個坐標軸縮放比例不同
• 正三軸測投影（正三測）：投影時三個坐標軸縮放比例均不相等
• 斜投影：投影線不垂直於投影平面
• 斜等軸測投影（斜等測）
• 斜二軸測投影（斜二測）
• 斜三軸測投影（斜三測）
• 透視投影：投影中心與投影平面的距離是有限的
• 一點透視
• 兩點透視
• 三點透視

平行投影

平行投影是投影線相互平行的投影。若投影線平行於投影面則稱正投影，若投影面傾斜於投影面則稱斜投影。

正交投影

正交投影是一系列用於顯示三維物體的輪廓、細節或精確測量結果的變換方法。通常又稱作截面圖、鳥瞰圖或立面圖。

當視平面的法向（即攝像機的朝向）平行於笛卡爾坐標系三根坐標軸中的一根，數學變換定義如下： 若使用一個平行於y軸（側視圖）的正交投影將三維點 投影到二維平面上得到二維點 ，可以使用如下公式

其中向量s是一個任意的縮放因子，而c是一個任意的偏移量。這些常量可自由選擇，通常用於將視口調整到一個合適的位置。該投影變換同樣可以使用矩陣表示（為清晰起見引入臨時向量d）

雖然正交投影產生的圖像在一定程度上反映了物體的三維特性，但此類投影圖像和實際觀測到的並不相同。特別是對於相同長度的平行線段，無論離虛擬觀察者（攝像機）遠近與否，它們都會在正交投影中顯示為相同長度。這會導致較近的線段看起來被縮短了。

斜投影

斜投影不像正交投影一樣投影線垂直於投影面，而是投影線與投影面成非90度的斜角。

透視投影

透視投影的定義更為複雜。可以將其理解為透過攝像機取景器對於被投影物體進行觀察。攝像機的位置、朝向和視野都將影響投影變換的結果。我們定義以下變數來對這一變換進行描述：

1、：將被投影的三維空間中的點。

2、：攝像機的位置。

3、：攝像機的旋轉角度。當且, 三維向量<1,2,0>將被投影到二維向量<1,2>。

4、：觀測者相對顯示平面的位置。

最終結果為：：所產生的二維投影。

首先我們定義點作為點 {\displaystyle \mathbf {a} } \mathbf {a} 向攝像機坐標系所作的變換，其中攝像機坐標系由攝像機的位置c和旋轉所決定。該過程為：先用a減去c，然後使用由產生的旋轉矩陣乘上該結果。該變換通常稱為攝像機變換(注意該計算過程假設使用左手法則)：

或者使用以下這種非矩陣表示的形式，其中角度的正負號與矩陣表示形式不同：

然後將變換後的該點通過以下方程投影到二維平面（此處投影平面為x/y平面，有時也使用x/z）:

或在齊次坐標系下可以表示為：

和

觀測者到顯示平面的距離，，直接關係到視野的大小。為可視角度。（這裡假設螢幕的兩角為(-1,-1)和(1,1)）

如果要在一些特定的顯示設備上顯示該二維平面，之後還要進行一些必要的剪裁和縮放操作。

圖示

計算三維空間中位於Ax，Az的點在螢幕坐標x軸的位置：

對於y軸同樣有:

(其中Ax和Ay是透視轉換前物體在空間中的坐標)