數乘變換

數乘變換(Number multiplication transformation)是一種線性變換，設V是數域P上的一個線性空間，k是P中的一個數，對任意α∈V，由σ(α)=kα所決定的線性變換σ，稱為數乘變換，記為k*，這樣1*就是單位變換，0*就是零變換。

基本介紹

• 中文名：數乘變換
• 外文名：Number multiplication transformation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：線性代數（向量空間）
• 簡介：一種線性變換

基本介紹

線性變換的概念

設V為數域F上的線性空間，是V到V的一個映射（變換），且滿足條件：

（1）對任意的α，β∈V有：

(α+β)=(α)+(β)；

（2）對任意的α∈V及任意的實數k∈F，有：

(kα)=k(α)，

則稱為V的線性變換。

設V是數域F上的線性空間。定義變換為

(α)=α，α∈V，

稱為恆等變換或單位變換；定義變換為

(α)=0，α∈V，

稱為零變換，它們都是線性變換。

數乘變換的概念

設V是數域F上的線性空間，k∈F，定義變換 為

(α)= kα，α∈V，

稱為數乘變換，數乘變換是線性變換，故線性變換的性質也是數乘變換的性質，參見線性變換。顯然當k=1數乘變換即為恆等變換，k=0數乘變換即為零變換。

相關性質

(1)設是V的一個線性變換，則：

(0)=0， (-α)=- α。

因為(0)=(0·α)=0(α)=0，

(-α)=((-1)α)=(-1)(α)=-(α)。

(2)線性變換保持向量的線性組合和線性關係式不變，即

若β是α₁，α₂，…，α_s的線性組合：

β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，

則有(β)=k₁(α₁)+k₂(α₂)+…+k_s(α_s)，

(β)仍然是(α₁)，(α₂)，…，(α_s)的線性組合，且表出係數相同。

同樣若對於α₁，α₂，…，α_s，有：

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，

則有：

k₁(α₁)+k₂(α₂)+…+k_s(α_s)=0。

(3)線性變換把線性相關的向量組變為線性相關的向量組。

注 線性變換可能把線性無關的向量組變為線性相關的向量組，譬如零變換。