擺線的等時性

擺線的等時性是將擺線的一拱倒轉，即對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點 C 變成最低點，若一質點從此段擺線任意點出發，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關。即：從任意兩相異點出發，它們到達C點的時間相同。為π√(a/g)，其中a為此段擺線對應的動圓半徑。

基本介紹

• 中文名：擺線的等時性
• 套用：單擺
• 周期：T=2π√(L/g)
• 特點：等時性

擺線的等時性

套用

惠更斯在1657年利用單擺的等時性原理髮明了擺鐘以後，逐漸發現單擺的等時性是有限制的——即在擺角小於5°的時候，擺角的正弦值可近似的看做擺角的值，即Sin θ ≈ θ，從而有周期T=2π√(L/g)。

在不斷的研究後，發現擺線的等時性不受擺角的影響，從而在1673年利用擺線的等時性製作出了具有真正等時性的擺鐘。

不論振幅為多少，其周期是個定值，此定值等於 4π√(a/g)。

證明

倒轉後的擺線的參數方程為 x=aθ-asinθ， y=-a+a*cosθ ， 質點下滑的出發點 P 所對應的參數為 θ′（0<θ′<π）。當質點下滑到參數為 θ 的點時，根據能量守恆定律，質點喪失的勢能轉變成動能，所以質點在該處的的瞬時速度為 v（θ）=√(2ag（cosθ′-cosθ）)。

另一方面，弧長 s 的微分為 ds=√((dx)*(dx)+(dy)*(dy))=2a*sin(θ/2)dθ

於是，質點滑落到最低點 C所需的時間為 ∫[θ′,π](2a*sin(θ/2)dθ )/√(2ag（cosθ′-cosθ）)

此值等於 π√(a/g)，與θ′無關。