接合函式

接合函式(incidence function)亦稱關聯函式，是一類映射，即從局部有限偏序集P=(E，≤)的笛卡兒積集P×P，到數域F上且滿足如下條件的映射f：當E的任意元素x，y沒有序關係，即x≰y時，f(x，y)=0。

基本介紹

• 中文名：接合函式
• 外文名：incidence function
• 所屬學科：數學（組合序）
• 別名：關聯函式
• 簡介：一類映射

基本介紹

接合函式是一類映射，即從局部有限偏序集P=(E，≤)的笛卡兒積集P×P，到數域F上且滿足如下條件的映射f：當E的任意元素x，y沒有序關係，即x≰y時，f(x，y)=0。

從組合幾何觀點看，x，y沒有序關係也就是沒有接合關係。

例如，δ函式δ(x，y)僅當x=y時其值為1，其他情形均為0；ζ函式ζ(x，y)僅當x≤y時其值為1，而其他情形均為0。

接合代數

若A_F(p)為如前所述所有接合函式組成的集合，並在其上定義接合函式的加法運算、數乘運算以及卷積運算：

(f+g)(x，y)=f(x，y)+g(x，y)；

(rf)(x，y)=rf(x，y)，r∈F；

(f*g)(x，y)=f(x，z)g(z，y)，

則稱A_F(P)為P的接合代數。而且它關於偏序集P是惟一的，不僅如此，當不同的偏序集P₁，P₂產生的接合代數A_F(P₁)和A_F(P₂)同構時，偏序集P₁和P₂亦同構。

相關介紹

偏序集(partially set,poset)是特定的集，它是一類主要的序關係集。具體地說，集合E連同其上的偏序R構成的關係集(E，R)，一般記為P=(E，≤)。所謂偏序(或序關係)是一類具有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關係。例如，數之間的不大於關係，自然數之間的整除關係，集合之間的包容關係等。把集合E的基數稱為偏序集P的階，階為有限值的偏序集稱為有限偏序集。而在P上，對於任意元素x，y，區間[x，y]均為有限偏序集時，稱P為局部有限偏序集，這兩類偏序集是組合理論中的主要研究對象。偏序集上所有鏈的長度的最小上界，或上確界，稱為偏序集的長度，記為l(P)，偏序集中最大反鏈包含的元素數目，稱為偏序集的寬度，記w(p)，對於以下圖為哈塞圖的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2，偏序集的子關係集仍為偏序集，而且必有全序集作為其子關係集。

在集合P上定義一個二元關係≤，對任意x，y，z∈P，若滿足下列條件：

P₁x≤x(反身性);

P₂若x≤y且y≤x，則x=y(反對稱性)；

P₃若x≤y且y≤z，則x≤z(傳遞性)，

則稱P為偏序集，記為(P;≤)，或簡記為P，滿足P₁，P₂，P₃的二元關係稱為偏序關係，簡稱偏序，亦稱半序.集合P的二元關係適合P₁，P₃時，稱為擬序或準序，記為(P;)，並稱其為擬序集或準序集.若(P;≤)是偏序集，Q是P的一個非空子集，而且在Q上有一個由≤引出的自然偏序≤_Q，使對a，b∈Q，a≤_Qb若且唯若a≤b，則稱(Q;≤_Q)為P的子偏序集.設≤₁，≤₂是定義在同一集合P上的兩個偏序，對任意a，b∈P，若a≤₁b有a≤₂b，則≤₂稱為≤₁的擴張.當x≤y且x≠y時，則稱x小於y，亦稱x真含於y，並記為x<y，關係x≤y亦可寫成y≥x，讀成y含x(或包括x)，(P;≤)和(P;≥)稱為對偶的偏序集。