捨入是一種修約規則。在日常的生活中，我們為了精簡格式，記憶方便，常常用四捨五入的方法來去掉零頭或湊個整數來解決此問題。四捨五入是一種非常靈活的方法。因此不管是在日常生活中還是在數學計算中四捨五入方法套用的都比較廣泛。除了四捨五入的捨入方法外還有其他不同的捨入規則、在數學中也有其獨特的定義。
基本介紹
- 中文名：捨入
- 外文名：rounding off
- 用途：數學計算、日常生活
- 相關：四捨五入、上捨入、下捨入
- 性質：數學術語
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定義
在對位數較多的數進行計算時，為了方便或由於受到計算工具的限制，需要用位數較少的數來代替（有時按照精確度的要求也不必對全部數字進行計算）。於是，就要按一定的規則去掉一個數的某個有效數字以後的數字，並對剩餘部分進行調整，使得儘可能接近於原來那個數，這種過程稱為捨入。
規則
捨入規則為“0舍1入”，在十進制中通常用四捨五入法，它由以下步驟構成：
（1）確定所需的位數n;
（2）划去第n位以後的所有數字;
（3）若划去的第n+1位數字小於5，則保留第n位數字;若大於5，則第n位數字加1;若等於5，則使第n位數字為偶數。
例如：對0.613、1.979、7.105保留三位有效數字，在捨入後，分別為0.61、1.98、7.10。
在其他記數法中，當最後一位有效數字等於或大於基數的一半時，則前一位進一，否則就捨去。此外，有時也採用只舍不入法等規則。
捨入，亦指按上述規則縮減一個數之位數（即截短一個數）的方法。
分類
四捨五入
“四捨五入”就是指在要保留的數位後的一個數位上的數字大於等於5，就除去末尾，向前進1。小於4，就直接去掉。為什麼要發明四捨五入法呢？因為有些運算過程中出現的數過於繁鎖，難記又難算，而這個數簡直像一串數列，在這種情況下，數列最末尾的一個到幾個數對於整上數大小的影響根本微不足道，與其留著，讓它影響記憶（錄），干擾運算，還不如除掉，用零占位。這樣，既簡便了運算，又方便了記憶（錄），還不大影響數的大小，一舉三得。
四捨五入規則
四捨五入規則是人們習慣採用的一種數字修約規則 。
四捨五入規則的具體使用方法是：
在需要保留有效數字的位次後一位，逢五就進，逢四就舍。
例如：將數字2.1875精確保留到千分位（小數點後第三位），因小數點後第四位數字為5，按照此規則應向前一位進一，所以結果為2.188。同理，將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：
0.53664——0.5366
10.2750——10.28
18.06501——18.07
0.58346——0.5835
16.4050——16.40
27.1850——27.18
按照四捨五入規則進行數字修約時，應一次修約到指定的位數，不可以進行數次修約，否則將有可能得到錯誤的結果。例如將數字15.4565修約為兩位有效數字時，應一步到位：15.4565——15（正確）。如果分步修約將得到錯誤的結果：15.4565——15.457——15.46——15.5——16（錯誤）。
四捨五入修約規則，逢五就進，必然會造成結果的系統偏高，誤差偏大，為了避免這樣的狀況出現，儘量減小因修約而產生的誤差，在某些時候需要使用四捨六入五留雙的修約規則。
四捨六入五留雙
有些時候四捨五入會造成較大的誤差，特別是精度要求比較高的計算或者工程測量中，有時會對結果產生較大影響，此外在日常生活中四捨五入可能會造成資金的浪費，影響企業判斷等情況出現，因此出現了一種四捨六入五留雙的修約規則。四捨六入五留雙規則為了避免四捨五入規則造成的結果偏高，誤差偏大的現象出現，一般採用四捨六入五留雙規則。
四捨六入五留雙規則的具體方法是：
（一）當尾數小於或等於4時，直接將尾數捨去。
例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：
0.53664——0.5366
10.2731——10.27
18.5049——18.500.58344——0.5834
16.4005——16.40
27.1829——27.18
（二）當尾數大於或等於6時，將尾數捨去並向前一位進位。
例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：
0.53666——0.5367
8.3176——8.318
16.7777——16.78
0.58387——0.5839
10.29501——10.30
21.0191——21.02
（三）當尾數為5，而尾數後面的數字均為0時，應看尾數“5”的前一位：若前一位數字此時為奇數，
就應向前進一位；若前一位數字此時為偶數，則應將尾數捨去。數字“0”在此時應被視為偶數。
例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：
0.153050——0.1530
12.6450——12.64
18.2750——18.28
0.153750——0.1538
12.7350——12.74
21.845000——21.84
（四）當尾數為5，而尾數“5”的後面還有任何不是0的數字時，無論前一位在此時為奇數還是偶數，也無論“5”後面不為0的數字在哪一位上，都應向前進一位。
例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：
0.326552——0.3266
12.73507——12.74
21.84502——21.85
12.64501——12.65
18.27509——18.28
38.305000001——38.31
按照四捨六入五留雙規則進行數字修約時，也應像四捨五入規則那樣，一次性修約到指定的位數，不可以進行數次修約，否則得到的結果有可能是錯誤的。例如將數字10.2749945001修約為四位有效數字時，應一步到位：10.2749945001——10.27（正確）。如果按照四捨六入五留雙規則分步修約將得到錯誤結果：10.2749945001——10.274995——10.275——10.28（錯誤）。
上捨入與下捨入
上捨入即取比該值大的最接近的整數，下舍入即取比該值小的最接近的整數。例如2.8上捨入為3，下捨入為2。-2.8上捨入為-2，下捨入為-3。
相關
捨入誤差定義
捨入誤差舉例
增加數字位數可以減少可能會產生的捨入誤差，但是位數是有限的，在表示無限浮點數時仍然會產生誤差。在用常規方法表示浮點數的情況下，這種誤差是不可避免的，但是可以通過設定警戒位來減小。
多步捨入會增加捨入誤差，例如數字9.945309在輸入時被捨入到小數點後兩位 （9.95），顯示時再捨入到小數點後一位（10.0），捨入誤差是0.054691。如果原來的數隻經過一步捨入到小數點後一位（9.9），捨入誤差僅為0.045309。
