在數學中，拋物柱面函式是作為微分方程解的一類特殊函式。
基本介紹
- 中文名：拋物柱面函式
- 外文名：Parabolic cylinder function
- 學科：數學
- 性質：作為微分方程解的一類特殊函式
- 來源：拉普拉斯方程
- 相關名詞：柱面函式
簡介,求解,
簡介
在數學中，拋物柱面函式是作為微分方程解的一類特殊函式。
當在拋物柱面坐標中表示時，在拉普拉斯方程上使用變數分離技術時，發現了該方程。
通過完成稱為H. F.韋伯方程（Weber 1869）的平方和重新縮放z，可以將上述方程式分成兩種不同的形式（A）和（B））：
如果f（a,z）是解，那么f（a,-z）、f（-a,iz）、f（-a,-iz）也都是解。
如果f（a,z）是方程（A）的解，那么f（-ia,ze(1/4)πi）是方程（B）的解，並且類似的，f（-ia,-ze(1/4)πi）、f（ia,-ze-(1/4)πi）、f（ia,ze-(1/4)πi）也是方程（B）的解。
求解
有（A）形式的獨立偶數和奇數解。 這些是由（阿布拉莫維茨和史蒂文（1965年））給出的：
和
其中
是超幾何函式。
可以由上述解的線性組合形成其他成對的獨立解。 這樣的組合是基於他們在無窮遠的函式：
這裡，
。
當| arg（z）|<π/ 2時，函式U（a，z）接近零，而V（a，z）發散。
對於a的整數值，這些（即U和V）可以用Hermite多項式來重新表示；或者，它們也可以用貝塞爾函式來表示。
函式U和V也與拋物柱面函式Dp（x）（可追溯到Whittaker（1902）的符號）有關：
函式D（a，z）由惠特克和沃森引入，可以用超幾何函式來表示
