投資問題

數學模型

投資問題是一種特殊的0-1整數規劃問題，數學模型為

它可以解釋為有n個投資項目可供選擇，這裡的c_j表示從第j項投資可得到的收益，a_ij表示第i種資源用於第j項投資的數量，b_i表示第i種資源的限量，目標是在各種資源不超過限量b_i的條件下，對哪些項目投資，才使整個投資的總效益為最大?當問題中僅有一個不等式約束條件時，它就是背包問題。

【例1】某公司現有資金3 000萬元，今後五年內計畫對以下項目進行投資。

項日A：從第一年到第五年每年年初都可以投資，當年年末能收回本利105%。

項目B：從第一年到第四年每年年初都可以投資，次年年末收回本利135%，但規定每年最大投資額不能超過450萬元。

項目C：第三年年初可以投資，到第五年年末能收回本利130%，但規定最大投資額不能超過l 200萬元。

項目D：第二年年初可以投資，到第五年年末能收回本利140%，但規定最大投資額不能超過1 500萬元。

試決策這些項目每年的投資額，從而使第五年末擁有自己的本利金額最大。

分析：設梳為第；年初投資於項目/的金額（萬元）。

第一年：該公司年初有資金3 000萬元，因此：

。

第二年：該公司在第二年初擁有資金僅為項目A在第一年投資額所收回的本息

，因此

。

第三年：第三年年初的資金額是從項目A第二年投資和項目B第一年投資所回收的本息總和，即

故有

同理，第四年可得：

第五年為