托馬森圖

托馬森圖(Thomasson graph)是一個特殊的圖。它是龐加萊猜想的一個反例。此猜想說:不存在亞可跡圖;但托馬森圖為亞可跡圖。

基本介紹

  • 中文名:托馬森圖
  • 外文名:Thomasson graph
  • 領域:數學
  • 性質:一種特殊的圖
  • 提出者:托馬森
  • 意義:龐加萊猜想的反例
極圖,龐加萊猜想,

極圖

極圖是一類特殊的圖。指階數一定在某種意義下最大的圖。給定一個圖族L,在所有n階圖中含邊最多,不以L中圖為其子圖的圖。這個給定的圖族L稱為禁用圖類。關於L的全部n階極圖的集記為Ex(n,L),其中每個極圖邊數相等,記為ex(n,L)。例如,Tm,n圖,即有n個節點,各部節點數分別為[n/m](即n/m的整數部分)或[n/m]+1的完全m部圖,就是一個極圖。其中,L是m+1階完全圖。Tm,n常稱為圖蘭圖。事實上,有圖蘭定理:在所有不含完全圖Kn作為子圖的m階圖中,邊數最多的圖只有一個,就是Tm,n-1。它第一次出現在圖蘭(Turn,P.)1941年發表的文章中,由此而得名。

龐加萊猜想

關於閉3維流形拓撲性質的一個猜測.龐加萊(Poincaré,(J.-)H.)於1900年提出這樣的問題:一個同調平凡的3維流形M(即H0(M)=Z,Hi(M)=0,i>0)是單連通的,從而同胚於3維球面S。後來他自己舉了一個反例,說明存在同調平凡但非單連通的流形,這樣的流形當然不能同胚於S,但下列問題至今沒能解決:一個單連通的3維閉流形同胚於S。這就是著名的龐加萊猜測。若3維閉流形M是2連通的,則M與S有相同的同倫型。上述龐加萊猜測中的流形正是這樣的流形,因此上述問題的一般提法(廣義龐加萊猜測)是:若一個n維閉流形M與S有相同的同倫型,則M同胚於S。
這個問題當n≥5時,由美國數學家斯梅爾(Smale,S.)於1960年利用莫爾斯理論的方法所解決,他考慮的是M為可微流形的情形。後來,史太令史(Stallings J.R.)解決了M為分片線性(簡稱PL)流形的情形;紐曼(Newman,M.H.A.)解決了M為拓撲流形的情形。一般地,當n≥5,M為光滑同倫n維球面(即與S有相同同倫型)時,M同胚於S.但當n≥7時,這決不意味著M微分同胚於S。當n≥5,M為PL同倫n維球面時,M為PL同胚於S當n=4,M為拓撲同倫4維球面時,弗里德曼(Freedman,M.(H.))於1980年在更廣泛的意義上,作為一個推論,解決了M同胚於S的問題。對於n=3的情形,即古典龐加萊猜測,至今未能解決。此外,對於n=1,2情形問題是平凡的,早為人們所熟知。

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