弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年—1716年），德國哲學家、數學家，和牛頓先後獨立發明了微積分。
基本介紹
- 中文名：戈特弗里德
- 外文名：GottfriedWilhelmLeibniz
- 國籍：德國
- 出生日期：1646年(丙戌年)7月1日
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨
弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年—1716年），德國哲學家、數學家，和牛頓先後獨立發明了微積分。有人認為，萊布尼茨最大的貢獻不是發明微積分，而是微積分中使用的數學符號，因為牛頓使用的符號普遍認為比萊布尼茨的差。他所涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個範疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。
中文名:弗里德·威廉·萊布尼茨
外文名:GottfriedWilhelmLeibniz
國籍:德國
民族:薩克森
出生地:神聖羅馬帝國萊比錫
出生日期:1646年(丙戌年)7月1日
逝世日期
1716年11月14日
職業
數學家，哲學家，邏輯學家
畢業院校
萊比錫大學
主要成就
發明微積分
單子論
外文名:GottfriedWilhelmLeibniz
國籍:德國
民族:薩克森
出生地:神聖羅馬帝國萊比錫
出生日期:1646年(丙戌年)7月1日
逝世日期
1716年11月14日
職業
數學家，哲學家，邏輯學家
畢業院校
萊比錫大學
主要成就
發明微積分
單子論
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年7月1日－1716年11月14日），德意志哲學家、數學家。他的著書約四成為拉丁文、約三成為法文、約一成五為德文。萊布尼茨是歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞里士多德。他本人是一名律師，經常往返於各大城鎮，他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。
萊布尼茨在數學史和哲學史上都占有重要地位。在數學上，他和牛頓先後獨立發明了微積分。有人認為，萊布尼茨最大的貢獻不是發明微積分，而是發明了微積分中使用的數學符號，因為牛頓使用的符號被普遍認為比萊布尼茨的差。萊布尼茨還對二進制的發展做出了貢獻。
在哲學上，萊布尼茨的樂觀主義最為著名，例如他認為，“我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創造的最好的一個。”他和笛卡爾、巴魯赫·斯賓諾莎被認為是十七世紀三位最偉大的理性主義哲學家。萊布尼茨在哲學方面的工作在預見了現代邏輯學和分析哲學誕生的同時，也顯然深受經院哲學傳統的影響，更多地套用第一性原理或先驗定義，而不是實驗證據來推導以得到結論。
萊布尼茨對物理學和技術的發展也做出了重大貢獻，並且提出了一些後來涉及廣泛——包括生物學、醫學、地質學、機率論、心理學、語言學和信息科學——的概念。萊布尼茨在政治學、法學、倫理學、神學、哲學、歷史學、語言學諸多方向都留下了著作。
萊布尼茨對如此繁多的學科方向的貢獻分散在各種學術期刊、成千上萬封信件、和未發表的手稿中，截止至2010年，萊布尼茨的所有作品還沒有收集完全。戈特弗里德·威廉·萊布尼茨圖書館的萊布尼茨手稿藏品——NiedersächischeLandesbibliothek2007年被收入聯合國教科文組織編寫的世界記憶項目。
由於萊布尼茨曾在漢諾瓦生活和工作了近四十年，並且在漢諾瓦去世，為了紀念他和他的學術成就，2006年7月1日，也就是萊布尼茨360周年誕辰之際，漢諾瓦大學正式改名為漢諾瓦萊布尼茨大學。
1646年7月1日萊布尼茨出生於神聖羅馬帝國的萊比錫，祖父三代人均曾在薩克森政府供職，父親是FriedrichLeibnütz，母親是CatherinaSchmuck。長大後，萊布尼茨名字的拼法才改成“Leibniz”，但是一般人習慣寫成“Leibnitz”。晚年時期，他的簽名通常寫成“vonLeibniz”，以示貴族身份。萊布尼茨死後，他的作品才公諸於世，作者名稱通常是“Freiherr[Baron]G.W.vonLeibniz.”，但沒有人確定他是否確實有男爵的貴族頭銜。
萊布尼茨的父親是萊比錫大學的倫理學教授，在萊布尼茨6歲時去世，留下了一個私人的圖書館。12歲時自學拉丁文，並著手學習希臘文。14歲時進入萊比錫大學念書，20歲時完成學業，專攻法律和一般大學課程。1666年他出版第一部有關於哲學方面的書籍，書名為《論組合術》（deartecombinatoria）
1666年萊布尼茨於Altdorf拿到博士學位後，拒絕了教職的聘任，並經由當時政治家Boineburg男爵的介紹，任職服務於美茵茨選帝侯大主教JohannPhilippvonSchönborn的高等法庭。
1671年發表兩篇論文《抽象運動的理論》（Theoriamotusabstracti）及《新物理學假說》（Hypothesisphysicanova），分別題獻給巴黎的科學院和倫敦的皇家學會，在當時歐洲學術界增加了知名度。
1672年萊布尼茨被JohannPhilipp派至巴黎，以動搖路易十四對入侵荷蘭及其它西歐日爾曼鄰國的興趣，並轉投注精力於埃及。這項政治計畫並沒有成功，但萊布尼茨卻進入了巴黎的知識圈，結識了馬勒伯朗士和數學家惠更斯等人。這一時期的萊布尼茨特別研究數學，而發明了微積分。
1672及1673年Boineburg和JohannPhilipp卻相繼過世，迫使萊布尼茨最後於1676年離開巴黎而轉任職服務於漢諾瓦的JohannFriedrich公爵。於上任時，順道于海牙拜訪斯賓諾莎，與其數天一同討論哲學。之後萊布尼茨就到漢諾瓦管理圖書館，並擔任公爵法律顧問。
1680至1685年間，擔任哈茨山銀礦礦采工程師。在這期間，萊布尼茨致力於風車設計，以抽取礦坑中的地下水。然而受限於技術問題和礦工傳統觀念的阻力，計畫沒有成功。
1685年起，再受繼任的公爵ErnstAugust所託，轉而開始做其Braunschweig-Lüneburg貴族族譜研究。這項計畫一直到萊布尼茨去世前都沒有完成。
1686年完成《形上學論》(Discoursdemétaphysique)。
1689年為完成Braunschweig-Lüneburg族譜研究，遊歷於義大利。其時結識耶穌會派遣於中國的傳教士，而開始對中國事物有更強烈的興趣。
1695年於期刊發表《新系統》，進而使萊布尼茨哲學中，關於實體間與心物間之“預定和諧”理論，被廣泛認識。
1700年萊布尼茨說服布蘭登堡選帝侯腓特烈三世於柏林成立科學院，並擔任首任院長。
1704年完成《人類理智新論》。本文針對洛克的《人類理智論》，用對話的體裁，逐章節提出批評。然因洛克的突然過世，萊布尼茨不願被落入欺負死者的口實，所以本書在萊布尼茨生前一直都沒有出版。
1710年，出於對1705年過世的普魯士王后SophieCharlotte的感念，出版《神義論》(EssaisdeThéodicée)。
1714年於維也納著寫《單子論》（LaMonadologie；標題為後人所加）及《建立於理性上之自然與恩惠的原理》。同年，漢諾瓦公爵GeorgLudwig繼任為英國國王喬治一世，卻拒絕將萊布尼茨帶至倫敦，而將他疏遠於漢諾瓦。
1716年11月14日萊布尼茨於漢諾瓦孤獨地過世，除了他自己的秘書外，即使GeorgeLudwig本人正巧在漢諾瓦，宮廷無其他人參加他的喪禮。直到去世前幾個月，才寫完一份關於中國人宗教思想的手稿：《論中國人的自然神學》。
1671年發表兩篇論文《抽象運動的理論》（Theoriamotusabstracti）及《新物理學假說》（Hypothesisphysicanova），分別題獻給巴黎的科學院和倫敦的皇家學會，在當時歐洲學術界增加了知名度。
1672年萊布尼茨被JohannPhilipp派至巴黎，以動搖路易十四對入侵荷蘭及其它西歐日爾曼鄰國的興趣，並轉投注精力於埃及。這項政治計畫並沒有成功，但萊布尼茨卻進入了巴黎的知識圈，結識了馬勒伯朗士和數學家惠更斯等人。這一時期的萊布尼茨特別研究數學，而發明了微積分。
1672及1673年Boineburg和JohannPhilipp卻相繼過世，迫使萊布尼茨最後於1676年離開巴黎而轉任職服務於漢諾瓦的JohannFriedrich公爵。於上任時，順道于海牙拜訪斯賓諾莎，與其數天一同討論哲學。之後萊布尼茨就到漢諾瓦管理圖書館，並擔任公爵法律顧問。
1680至1685年間，擔任哈茨山銀礦礦采工程師。在這期間，萊布尼茨致力於風車設計，以抽取礦坑中的地下水。然而受限於技術問題和礦工傳統觀念的阻力，計畫沒有成功。
1685年起，再受繼任的公爵ErnstAugust所託，轉而開始做其Braunschweig-Lüneburg貴族族譜研究。這項計畫一直到萊布尼茨去世前都沒有完成。
1686年完成《形上學論》(Discoursdemétaphysique)。
1689年為完成Braunschweig-Lüneburg族譜研究，遊歷於義大利。其時結識耶穌會派遣於中國的傳教士，而開始對中國事物有更強烈的興趣。
1695年於期刊發表《新系統》，進而使萊布尼茨哲學中，關於實體間與心物間之“預定和諧”理論，被廣泛認識。
1700年萊布尼茨說服布蘭登堡選帝侯腓特烈三世於柏林成立科學院，並擔任首任院長。
1704年完成《人類理智新論》。本文針對洛克的《人類理智論》，用對話的體裁，逐章節提出批評。然因洛克的突然過世，萊布尼茨不願被落入欺負死者的口實，所以本書在萊布尼茨生前一直都沒有出版。
1710年，出於對1705年過世的普魯士王后SophieCharlotte的感念，出版《神義論》(EssaisdeThéodicée)。
1714年於維也納著寫《單子論》（LaMonadologie；標題為後人所加）及《建立於理性上之自然與恩惠的原理》。同年，漢諾瓦公爵GeorgLudwig繼任為英國國王喬治一世，卻拒絕將萊布尼茨帶至倫敦，而將他疏遠於漢諾瓦。
1716年11月14日萊布尼茨於漢諾瓦孤獨地過世，除了他自己的秘書外，即使GeorgeLudwig本人正巧在漢諾瓦，宮廷無其他人參加他的喪禮。直到去世前幾個月，才寫完一份關於中國人宗教思想的手稿：《論中國人的自然神學》。
天才的智慧
萊布尼茲經當代智商測試研究，智商高達205，是人類歷史上少有的天才
萊布尼茲經當代智商測試研究，智商高達205，是人類歷史上少有的天才
符號思維
萊布尼茨有個顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運算，而這種運算可以解決看法上的差異：
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實，這樣我們能一眼就找出我們的錯誤，並且在人們有爭議的時候，我們可以簡單的說：讓我們計算[calculemus]，而無須進一步的忙亂，就能看出誰是正確的。"(發現的藝術1685,W51）
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號邏輯，可以被看作使這種計算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對符號邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是Gerhard和Couturat沒有出版這些著作，直到現代形式邏輯在1880年代於Frege的概念文字和CharlesPeirce及他的學生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在1847開創這種邏輯之後了。
萊布尼茨有個顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運算，而這種運算可以解決看法上的差異：
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實，這樣我們能一眼就找出我們的錯誤，並且在人們有爭議的時候，我們可以簡單的說：讓我們計算[calculemus]，而無須進一步的忙亂，就能看出誰是正確的。"(發現的藝術1685,W51）
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號邏輯，可以被看作使這種計算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對符號邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是Gerhard和Couturat沒有出版這些著作，直到現代形式邏輯在1880年代於Frege的概念文字和CharlesPeirce及他的學生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在1847開創這種邏輯之後了。
單子論
除了是一位出眾的天才數學家之外，萊氏亦是歐陸理性主義哲學的高峰。承斷了西方哲學傳統的思想，他認為世界，因其確定（換句話說，有關世界的知識是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實體所構成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認知。萊氏的前輩斯賓諾莎以為實體只有一個，就是神/自然。萊氏對此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神觀和聖經的神學有明顯衝突，其次，是因為斯氏的理論沒有能夠解決由笛卡兒以降的二元對立論，令世界出現了斷層（他雖然強調世界為一，但沒有說明這一個看來是二元對立的世界的一統是如何可能）。
萊氏以為實體是多的，是無限多的。跟隨亞里士多德的實體觀，他以為實體是一命題的主語。在一個命題S是P中，S就是實體。因為實體是自足的，則它要包含所有可能的謂語，即是「……是P」。由此，我們可以推出，實體有四個特徵︰不可分割性、封閉性、統有性和道德性。
不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，並且自足，則有廣延的東西的內容，即可能性要依附於他的部份的可能性。如此類推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對萊氏來說，真正的知識就是要窮一物的可能性），就不是實體。故實體不可分割，是一沒有廣延的東西，在萊氏的晚年著作中（Monadology），他稱之為單子（Monad），單子的性質就是思（thought）。這廣延的世界就是由無限多的單子構成。
封閉性是說每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有互動作用(interaction）。若一單子作用於另一單子，則後一單子有一可能性沒有包括在該單子之內，即該單子沒能自足的包含自己的全部內容，而要依附於他物。因為實體的定義，這是不可能的。故萊氏說︰「單子之間沒有窗戶。」
統有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因為世界是緊密的由因果所構成，故A作用於B，其實不單單是作用於B，而是全世界。如果說一單子的內容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個世界是一的，不等於說所有單子都是一樣的，因為同一世界可以不同的角度來認知，而不失為一一統的世界。
最後，單子的道德性則較複雜。這個特性的提出是基於兩個理由，
一、是世界的一統性（unity），
二、是世界的確定性。
對於前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統性是不是假的呢？如果我們要說一統，可以如何說起呢？對於後者，世界是由單子構成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識呢？我們可以在甚么意義下說有關世界的知識是真的、確定的呢？萊氏將之歸功於一神，世界的創造者。從一個方面說，神在創造之前，沒有已成的材料，故沒有既成的有限處境，則創造是一純意志的創造，神是單憑其至善而創造這一個世界的。故此，如萊氏的名言，這一個確切成就了的世界是「眾多可能的世界之中最好的一個。」這乎合了萊氏的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個原因，又要追索該原因的原因。如此類推，則世界的確定性知識不可能是一世界之內的動因（efficientcause），而是一超越的形上因（metaphysicalcause）。萊氏稱這個理論上必要設定的形上因為神。故，這一個世界之所以是如此，就是因為這是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個方向邁進，因為人的心靈作一特殊的單子，是有記憶的，可以基於過去，疇劃自己的未來，這是人類分享的神性，即道德的可能性。人可以透過開放可能性，了解這個神創造的世界，而了解如何成為一個道德的人。
這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅，分別在於萊氏獨斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說成了是在神的目光之下的實在，而沒有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊氏對天賦觀念（innateidea）的批評，正是黑格爾對康德的批評，在這個意義上說，康德一方面是被休謨（Hume）從萊氏的獨斷夢中喚醒，可是同時亦到由洛克（Locke）起的哲學病變--對理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。
除了是一位出眾的天才數學家之外，萊氏亦是歐陸理性主義哲學的高峰。承斷了西方哲學傳統的思想，他認為世界，因其確定（換句話說，有關世界的知識是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實體所構成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認知。萊氏的前輩斯賓諾莎以為實體只有一個，就是神/自然。萊氏對此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神觀和聖經的神學有明顯衝突，其次，是因為斯氏的理論沒有能夠解決由笛卡兒以降的二元對立論，令世界出現了斷層（他雖然強調世界為一，但沒有說明這一個看來是二元對立的世界的一統是如何可能）。
萊氏以為實體是多的，是無限多的。跟隨亞里士多德的實體觀，他以為實體是一命題的主語。在一個命題S是P中，S就是實體。因為實體是自足的，則它要包含所有可能的謂語，即是「……是P」。由此，我們可以推出，實體有四個特徵︰不可分割性、封閉性、統有性和道德性。
不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，並且自足，則有廣延的東西的內容，即可能性要依附於他的部份的可能性。如此類推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對萊氏來說，真正的知識就是要窮一物的可能性），就不是實體。故實體不可分割，是一沒有廣延的東西，在萊氏的晚年著作中（Monadology），他稱之為單子（Monad），單子的性質就是思（thought）。這廣延的世界就是由無限多的單子構成。
封閉性是說每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有互動作用(interaction）。若一單子作用於另一單子，則後一單子有一可能性沒有包括在該單子之內，即該單子沒能自足的包含自己的全部內容，而要依附於他物。因為實體的定義，這是不可能的。故萊氏說︰「單子之間沒有窗戶。」
統有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因為世界是緊密的由因果所構成，故A作用於B，其實不單單是作用於B，而是全世界。如果說一單子的內容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個世界是一的，不等於說所有單子都是一樣的，因為同一世界可以不同的角度來認知，而不失為一一統的世界。
最後，單子的道德性則較複雜。這個特性的提出是基於兩個理由，
一、是世界的一統性（unity），
二、是世界的確定性。
對於前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統性是不是假的呢？如果我們要說一統，可以如何說起呢？對於後者，世界是由單子構成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識呢？我們可以在甚么意義下說有關世界的知識是真的、確定的呢？萊氏將之歸功於一神，世界的創造者。從一個方面說，神在創造之前，沒有已成的材料，故沒有既成的有限處境，則創造是一純意志的創造，神是單憑其至善而創造這一個世界的。故此，如萊氏的名言，這一個確切成就了的世界是「眾多可能的世界之中最好的一個。」這乎合了萊氏的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個原因，又要追索該原因的原因。如此類推，則世界的確定性知識不可能是一世界之內的動因（efficientcause），而是一超越的形上因（metaphysicalcause）。萊氏稱這個理論上必要設定的形上因為神。故，這一個世界之所以是如此，就是因為這是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個方向邁進，因為人的心靈作一特殊的單子，是有記憶的，可以基於過去，疇劃自己的未來，這是人類分享的神性，即道德的可能性。人可以透過開放可能性，了解這個神創造的世界，而了解如何成為一個道德的人。
這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅，分別在於萊氏獨斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說成了是在神的目光之下的實在，而沒有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊氏對天賦觀念（innateidea）的批評，正是黑格爾對康德的批評，在這個意義上說，康德一方面是被休謨（Hume）從萊氏的獨斷夢中喚醒，可是同時亦到由洛克（Locke）起的哲學病變--對理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。
形式邏輯
萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開創現代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學家。萊布尼茨闡明了我們現在叫做合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個哲學可被歸約為兩點：
所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數目的簡單觀念複合而成，它們形成了人類思維的字母。
複雜的觀念來自這些簡單的觀念，通過模擬算術運算的統一的和對稱的組合。
萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開創現代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學家。萊布尼茨闡明了我們現在叫做合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個哲學可被歸約為兩點：
所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數目的簡單觀念複合而成，它們形成了人類思維的字母。
複雜的觀念來自這些簡單的觀念，通過模擬算術運算的統一的和對稱的組合。
數學家
目前微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
微積分
萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱：微積分的發明權屬於牛頓；1699年又說：牛頓是微積分的“第一發明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：“確認牛頓是微積分的第一發明人。”萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：
“
在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半
”
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什麼不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以後再版時，這段話被刪掉了）。
因此，後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其套用上更多地結合了運動學，造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發表），總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之“位相分析學”（analysissitus），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關於萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用JacobFreudenthal1954年一篇論文裡的話說：
儘管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——若且唯若距離發生變化時點的位置發生相應的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發表，解決了柯尼斯堡七橋問題及其推廣）中，卻是在“拓撲變形時點的位置不發生變化”的意義下使用“幾何位置”這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數學的這個分支領域的奠基人並不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說:
在萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外，大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之後，我對他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……，其使得歐幾里德公理更加嚴格，他陳述道，……‘對直線，我有數種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用於曲線，而且適用於集合。’這個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發揚光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持：大自然沒有跳躍（拉丁語“naturanonfacitsaltus”，英語"naturedoesnotmakejumps"）。當萊布尼茨在他的形上學著作中寫道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至於“填充理論”，萊布尼茨對他的朋友DesBosses說，“你想像一個圓，然後用三個全等的最大半徑的圓填滿它，後來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充”。這個過程可以無限地繼續下去，並由此生髮出了自相似性的思想。萊布尼茨對於歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
目前微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
微積分
萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱：微積分的發明權屬於牛頓；1699年又說：牛頓是微積分的“第一發明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：“確認牛頓是微積分的第一發明人。”萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：
“
在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半
”
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什麼不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以後再版時，這段話被刪掉了）。
因此，後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其套用上更多地結合了運動學，造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發表），總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之“位相分析學”（analysissitus），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關於萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用JacobFreudenthal1954年一篇論文裡的話說：
儘管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——若且唯若距離發生變化時點的位置發生相應的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發表，解決了柯尼斯堡七橋問題及其推廣）中，卻是在“拓撲變形時點的位置不發生變化”的意義下使用“幾何位置”這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數學的這個分支領域的奠基人並不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說:
在萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外，大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之後，我對他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……，其使得歐幾里德公理更加嚴格，他陳述道，……‘對直線，我有數種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用於曲線，而且適用於集合。’這個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發揚光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持：大自然沒有跳躍（拉丁語“naturanonfacitsaltus”，英語"naturedoesnotmakejumps"）。當萊布尼茨在他的形上學著作中寫道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至於“填充理論”，萊布尼茨對他的朋友DesBosses說，“你想像一個圓，然後用三個全等的最大半徑的圓填滿它，後來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充”。這個過程可以無限地繼續下去，並由此生髮出了自相似性的思想。萊布尼茨對於歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
萊布尼茨與中國文化
萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人。法國漢學大師若阿基姆·布韋（JoachimBouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是他的二進制的中國版。他曾斷言言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。目前在德國圖林根，著名的郭塔王宮圖書館（SchlossbibliothekzuGotha）內仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源。”
事實上，說萊布尼茨看到陰陽才發明二進制完全是斷章取義，相反手稿標題全文是：《1與0，一切數字的神奇淵源。……這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。》，而且萊布尼茨自己寫給若阿基姆·布韋的信中萊布尼茨寫到的是：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最後的一天也是最完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作‘7’，也就是‘111’（二進制中的111等於十進制的7），而且不包含0。只有當我們僅僅用0和1來表達這個數字時，才能理解，為什麼第七天才最完美，為什麼7是神聖的數字。特別值得注意的是它（第七天）的特徵（寫作二進制的111）與三位一體的關聯。”。
中國有廣為流傳的觀點認為現代計算機的二進制來自於中國的八卦，但這早已被證明是一個神話。對這一錯誤，郭書春在《古代世界數學泰斗劉徽》一書461頁指出：“中國有所謂《周易》創造了二進制的說法，至於萊布尼茲受《周易》八卦的影響創造二進制並用於計算機的神話，更是廣為流傳。事實是，萊布尼茲先發明了二進制，後來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，並發現八卦可以用他的二進制來解釋。”因此，並不是萊布尼茨看到陰陽八卦才發明二進制。梁宗巨著《數學歷史典故》一書14～18頁對這一歷史公案有更加詳盡考察，想進一步了解者可參考。
更進一步，二進制具有加減乘除運算，具有與其他進制的換算，而陰陽八卦根本沒有加減乘除，與其他進制的換算。因此，它們僅僅具有表面的相似，本質上是不同的。
萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人。法國漢學大師若阿基姆·布韋（JoachimBouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是他的二進制的中國版。他曾斷言言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。目前在德國圖林根，著名的郭塔王宮圖書館（SchlossbibliothekzuGotha）內仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源。”
事實上，說萊布尼茨看到陰陽才發明二進制完全是斷章取義，相反手稿標題全文是：《1與0，一切數字的神奇淵源。……這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。》，而且萊布尼茨自己寫給若阿基姆·布韋的信中萊布尼茨寫到的是：“第一天的伊始是1，也就是上帝。第二天的伊始是2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最後的一天也是最完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作‘7’，也就是‘111’（二進制中的111等於十進制的7），而且不包含0。只有當我們僅僅用0和1來表達這個數字時，才能理解，為什麼第七天才最完美，為什麼7是神聖的數字。特別值得注意的是它（第七天）的特徵（寫作二進制的111）與三位一體的關聯。”。
中國有廣為流傳的觀點認為現代計算機的二進制來自於中國的八卦，但這早已被證明是一個神話。對這一錯誤，郭書春在《古代世界數學泰斗劉徽》一書461頁指出：“中國有所謂《周易》創造了二進制的說法，至於萊布尼茲受《周易》八卦的影響創造二進制並用於計算機的神話，更是廣為流傳。事實是，萊布尼茲先發明了二進制，後來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，並發現八卦可以用他的二進制來解釋。”因此，並不是萊布尼茨看到陰陽八卦才發明二進制。梁宗巨著《數學歷史典故》一書14～18頁對這一歷史公案有更加詳盡考察，想進一步了解者可參考。
更進一步，二進制具有加減乘除運算，具有與其他進制的換算，而陰陽八卦根本沒有加減乘除，與其他進制的換算。因此，它們僅僅具有表面的相似，本質上是不同的。
