微分除法律

我們需要對分式(x^2+x+1)/x求導時，我們可以將其化為x+1+1/x，微分後得到1-1/x^2。但這種方法對分母為多項式的分式是無效的，所以除法律被用來解決大部分分式的微分問題。

基本介紹

• 中文名：微分除法律
• 表達式：d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：高等數學

除法律的推導

我們可以用乘法律，假設其中一個乘式是分子為1的分式，以此推導出除法律。

假設u和v都是自變數為x的函式：

d/dx(u/v)

=d/dx[u(1/v)]

=u[d/dx(1/v)]+(1/v)(du/dx) （乘法律）

=u(dv/dx)[d/dv(1/v)]+(du/dx)/v （連鎖律）

=-u(dv/dx)(1/v^2)+(du/dx)/v

=-u(dv/dx)/(v^2)+v(du/dx)/(v^2)

=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)

這樣我們得出除法律：

除法律的套用

[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]的導數

假設a、b、m、n、p和q都是常數：

d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}

={[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a]-[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]}/(px+q)^(2b) （除法律）

={am[(px+q)^b][(mx+n)^(a-1)]-bp[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)]}/(px+q)^(2b)

={(ampx+amq)[(px+q)^(b-1)][(mx+n)^(a-1)]-(bpmx+bpn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]}/(px+q)^(2b)

=(ampx+amq-bpmx-bpn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]/(px+q)^(2b)

=[(a-b)mpx+(amq-bnp)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)

得出公式：

d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}=[(a-b)mpx+(amq-bnp)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)

u/√v的導數

d/dx(u/√v)

=[(√v)(du/dx)-(u)d/dx(√v)]/v （除法律）

=[(√v)(du/dx)-(u/2)(dv/dx)/(√v)]/v

=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)

得出公式：

d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)

a/y的導數

d/dx(a/y)

=[(y)d/dx(a)-a(dy/dx)]/(y^2) （除法律）

=a(dy/dx)/(y^2) （d/dx(a)=0）

得出公式：

d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)

除法律公式

d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2)

d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)