《微分自治系統幾類多重奇點的極限環分支與共振中心》是依託中南大學，由劉一戎擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：微分自治系統幾類多重奇點的極限環分支與共振中心
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉一戎
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究兩個方面的問題。一方面研究實平面微分自治系統的一個重次為N的多重奇點（即N個初等奇點的合併）經擾動破裂後在其鄰域產生極限環的下列分支問題：（1）一個重次為3的冪零焦點或結點分解為兩個初等細焦點和一個初等鞍點後，這兩個細焦點同時由Hopf分支產生極限環的判據，該判據與未擾系統冪零焦點或結點的焦點量或結點量有何關係？（2）證明當一個重次為2n+1的高次結點或焦點經擾動分裂為一個穩定性與之相反的重次為2n-1的結點或焦點，並產生一對共軛的復初等奇點時，擾動系統在該結點或焦點鄰域將產生極限環，並研究其唯一性。繼而證明未擾系統可以反覆經過上述過程（降低重次和改變穩定性）產生n個極限環，而未擾系統的重次為2n+1的高次結點或焦點最後將分裂為一個初等焦點或結點，以及n對共軛的復奇點。另一方面研究復參數空間中解析系統共振奇點的廣義中心條件與可積性及線性化，分別研究原點與無窮遠點為共振奇點的情形。
結題摘要
本項目主要研究兩個方面的問題:一是冪零奇點（包括焦點和結點）的穩定性判據與極限環分支問題，二是復參數空間中解析系統共振奇點的廣義中心條件與可積性及線性化問題。這都是當前定性理論中極受關注的問題，有許多新的分支現象有待發掘。本項目對重次為3的冪零奇點有下列研究成果：1，假定原點的第一個焦點量不為零，則當原點經小參數擾動破裂後可分解為一個初等鞍點和兩個一階細焦點，或者，分解為一個二階細焦點和一對復奇點，不管哪種情況，都可以分支出兩個極限環。這就徹底弄清楚了這類奇點破裂後的極限環分支問題，闡明了一種前人沒有研究過的分支現象。2.證明了一個位於坐標原點的重次為2n+1的冪零結點（或冪零焦點）可以通過降低重次和改變穩定性產生一串極限環。當該原點的重次最終變為3時其鄰域最多可以產生n-1個極限環。這種現象類似於多重Hopf分支，但產生極限環的奇點可以是冪零結點和冪零焦點，所解決的也是前人沒有研究過的分支問題，所做的工作達到了項目既定的研究目標，完全是創新性的。本課題還在其他幾個方面有所創新和突破，從略。
