復二次型

復二次型是一類重要的二次型，指複數域上的二次型，任意復二次型f(x₁，x₂，…，x_n)都可經復滿秩線性代換化為形如y₁+y₂+…+y_r的標準形，其中r是二次型f的秩。這種標準形是由f所惟一確定的，稱為復二次型f的規範型，亦稱正規型。兩個n元復二次型等價的充分必要條件是：它們有相同的秩。

基本介紹

• 中文名：復二次型
• 外文名：complex quadratic form
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數（矩陣）
• 簡介：複數域上的二次型

基本介紹

復二次型是一類特殊的二次型，複數域C上的二次型，稱為復二次型，任一復二次型φ(x₁，x₂，…，x_n)必與一復規範形的二次型y₁+y₂+…+y_r等價。這裡r是此二次型的秩，兩個復二次型若且唯若它們的秩相同時等價。

相關介紹及性質

給定一個n元復二次型，可以用一個適當的非退化線性替換，把二次型化成標準形，當原二次型的秩為r(r>0)時，標準形中非零平方項的個數為r，不妨設它的前r個平方項是非零的，那么上述標準形可以寫成，已知二次型的 標準形不唯一，那么能不能在標準形巾找到一個典型代表，使得它具有特別簡單的形式？注意到每一個非零複數有兩個平方根，因此可以選取d_i的一個平方根，並作右邊的線性替換，顯然這個線性替換是非退化的，它把上述標準形變成

由於二次型的等價關係具有傳遞性，上式也是原二次型的一個標準型，其形式無疑是最簡單的，又由於標準形(1)中非零平方項的個數等於原二次型的秩，而秩是一個不變數，因此標準形(1)是唯—的，稱為原二次型的復規範形，簡稱為規範形。當二次型的秩為零時，補充規定，它的規範形為0，這就得到

定理1 每一個秩為r(r>0)的n元復二次型都可以經過一個適當的非退化線性替換化成復規範形，並且復規範形是唯一的。

由於二次型的等價關係具有對稱性和傳遞性，由上述定理立即得到：

推論2 兩個n元復二次型是等價的若且唯若它們有相同的復規範形，或者若且唯若它們有相同的秩。

用矩陣的語言，定理1和推論2可以敘述如下：

定理3 秩為r(r>0)的n階復對稱矩陣A必契約於J_r，這裡J_r是A的相抵標準形，即，稱為A的復規範形，簡稱為規範形。

推論4 兩個n階復對稱矩陣是契約的當且儀當它們有相同的復規範形，或者若且唯若它們有相同的秩。

全體n元復二次型按照二次型的等價關係進行分類，一共可以分成n+1類，所有秩為r的n元復二次型恰好構成其中的一個類，因而可以選取復規範形作為這類二次型的代表。

上述結論可以用矩陣的語言敘述如下：全體n階復對稱矩陣按照矩陣的契約關係進行分類，一共可以分成n+1類，所有秩為r的n階復對稱矩陣恰好構成其中的一個類，因而可以選取復規範形J_r作為這類矩陣的代表。