《從共形場論，D膜到新幾何》是依託清華大學，由孔良擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：從共形場論，D膜到新幾何
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：孔良
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題主要圍繞對2維共形場論的數學理論進行深入研究。基於我以前工作里對有理帶邊共形場論的分類和對弦論中D膜的嚴格數學定義，我提出來一個基於2維共形場論的一個全新的幾何。這其實是弦論帶來各種幾何上的全新進展的深層原因。本課題的長遠目標就是全面發展這個新的幾何。這裡涉及到很多不同的數學領域特別是代數，表示論，代數幾何和低維拓撲，特別有利於整合不同方向上數學家做非常系統化的工作。本課題的近期目標是: (1)給出共形場論和拓撲場論中對偶和缺陷之間的精確的對應關係；（2）完成新幾何一個初步的綱領；(3)對共形不變的D膜的分類，這個需要克服一個表示論上的困難：即如何精確地刻畫頂點運算元代數作為它的Virasoro子代數的模是如何分解的；(4)建立共形不變的D膜的張量範疇理論；（5）共形場論和張量範疇在凝聚態物理中拓撲序理論中的套用。
結題摘要
項目內容主要分為兩個方向，一個是二維共形場論的數學基礎，一個是共形場論相關數學的套用。（1）共形場論的基礎是這個計畫的主要內容，我們的目的是要發展一套全新的幾何基礎。在這個問題上北京大學的鄭浩和我討論了3年，這一部分非常的困難，我們需要發展無理頂點運算元代數的表示論，現已經取得很好的進展，但是文章的完成應該在今年夏天。除此之外，我們還完成了一個新幾何的基本綱領（已發表），證明了缺陷和對偶的對應，以及全息原理的函子性，另外我們還統一了有理共形場論的兩種不同理論框架。（2）在共形場論相關數學的套用上面，我們將張量範疇理論套用在了凝聚態物理中的拓撲序的研究中，特別是和Kitaev合作將Levin-文 模型擴展到邊界和缺陷，並給出Levin-文 模型的嚴格的數學基礎，提出並證明了boundary-bulk對偶和缺陷-對偶的一一對應。另外我還完成了任意子凝聚的完整的數學理論，以及合作完成了擴展弦網模型中的電磁對偶理論。
