《強弱型函式空間上的複合運算元和等距表示理論研究》是依託武漢大學，由王茂發擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：強弱型函式空間上的複合運算元和等距表示理論研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王茂發
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目著重研究幾類強弱型函式空間上的複合運算元和等距表示理論。目的在於運用位勢理論、端點理論、對偶理論、Jordan代數理論和原子分解、半內積、可微範數及內插等技巧開闢一些適用於強弱型函式空間的新方法與新工具，進而研究強弱型函式空間的本性屬性及其上複合運算元的分析特徵和等距運算元的結構特徵,揭示強弱型函式空間的本質差異性。它們是經典函式空間上相關理論的延伸和擴展。該項目屬於運算元理論與函式空間理論方面的交叉前沿課題。我們將交叉套用函式論中的實方法和複方法探討泛函空間與運算元理論中的一些重要問題，同時也以泛函空間與運算元理論為工具研究調和分析中的熱門問題。目前該領域中許多有待解決的問題在諸如不變子空間問題、重排不變函式空間、Banach空間幾何和遍歷理論等相關數學分支中具有重要理論意義和廣泛套用價值。本項目的研究必將使經典理論更臻完善，同時也將豐富和推動泛函分析基本理論對函式空間理論的實質反饋。
結題摘要
本項目主要研究了高維全純函式空間、Dirichlet級數函式空間、弱Orlicz函式空間、向量值函式空間等幾類強弱型函式空間上的複合運算元與等距理論. 特別是系統研究了複合運算元的緊差問題，該問題起源於國際著名分析學專家Shapiro和Sundberg1990年在研究複合運算元的拓撲結構時提出的如下猜想：兩個複合運算元在一個範數連通分支中若且唯若他們的差是一個緊運算元. 此後複合運算元的緊差問題受到了廣泛關注，國際上出現了一大批專家研究複合運算元的緊差問題，由於沒有統一的工具，各種研究五花八門，我們在這一問題上開採了Joint-Carleson測度這一新型工具，取得了一系列深刻結果，部分相關結果發表在J. Funct. Anal.、Math. Z.、J. Math. Anal. Appl等雜誌上，拓展了經典結果，統一了目前已有的結果，特別是證明了高維情形下緊差的指標依賴性、線性分式及三個符號的剛性問題、雙差的全局抵消性與局部的不抵消性等剛性性質. 最近我們完全解決了任意符號的線性組合的緊性的Carleson測度特徵刻畫與消失特徵刻畫. 我們也系統研究了與Riemann猜想緊密相關的Dirichlet級數上的複合運算元與等距運算元，用代數數論的方法解決了Dirichlet級數空間上的複合運算元的不變子空間問題，揭示了誘導符號的c_0係數的重要作用：c_0大於1時，不存在有限維的非平凡不變子空間，而對c_0小於等於1時完全刻畫了2維不變子空間，對無理符號則刻畫了複合運算元族的代數性與自反性，證明了非平凡代數複合運算元的不存在性，推廣了Mahvidi的結果到Dirichlet級數的情形，相關結果發表在Arch. Math.、Ann. Funct. Anal上，有關Dirichlet級數上複合運算元的其他一些諸如Fredholm性, Hilbert-Schmidt性、譜、循環性、超循環性及範數計算問題等性質也被研究，相關結果發表在Complex Var. Elliptic Equ上. 復對稱由於在剛體運動(等距)的幾何研究中起著重要的作用而日益受到關注，我們也研究了一般解析函式空間上的複合運算元的復對稱性，完全刻畫了復對稱複合運算元的等距性、緊性、正規性、Hilbert-Schmidt性. 特別地，構造了非正規的復對稱的複合運算元，回答了Noor的一個開問題，相關結果發表在Inter. J. Math上.
