弱函式（minorant）是指如果一個函式f的函式值不超過另外一個與其對應的函式g，則函式f為弱函式。
基本介紹
- 中文名：弱函式
- 外文名：minorant
- 領域：數學
- 學科：函式論
函式,函式論,
函式
數學中最重要的概念之一。它是從大量實際問題中抽象出來的，體現出合乎形式邏輯和辯證邏輯的數學思維。函式概念多方面地促使數學向前發展，它幾乎是現代數學每一分支的主要研究對象。由於函式概念的內涵逐步擴充，因而數學新的分支也不斷地湧現。
中學數學中函式的定義是：如果在某變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函式，x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的定義域。和x的值對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
從映射的觀點給出函式的定義是：當集合A，B都是非空的數的集合，且B的每一個元素都有原象時，這樣的映射f：A→B就是定義域A到值域B上的函式。函式是由定義域、值域以及定義域到值域上的對應法則三部分組成的一類特殊的映射。
例如函式y=x+2，它的定義域是A={x|x∈R}，值域是B={y|y≥2}，對應法則是“平方加2”，這個函式就是一個集合A到B上的映射。
函式這個名詞，是微積分的奠基人之一——德國的哲學家兼數學家G.W.萊布尼茲首先採用的。他用函式表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。與此同時，瑞士數學家雅克·貝努利給出了和G。
W.萊布尼茲相同的函式定義。1718年雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函式的如下定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函式。後來約翰·貝努利的學生歐拉把函式定義又推進了一步，使之更加明朗化。他把凡是可以給出“解析式表示”的，通稱為函式。這裡的“解析式”包括多項式、對數式，三角式乃至冪級數。並且於1734年採用了現在通用的記號f(x)來表示函式。後來，由於對於一個函式表達方式是否唯一的問題，在不斷的爭議中逐漸澄清，法國數學家柯西又引入了新的函式定義：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為“自變數”，其他各變數則稱為“函式”.到了19世紀德國數學家黎曼給出了函式的下述定義：對於x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函式。另一個德國數學家狄利克雷也於1837年給出一個新的函式定義：對a≤x≤b之間的每一個x值，y總有完全確定的值與之對應，不論這一對應是用什麼方法建立的，總可以把y稱為x的函式。這兩個定義都徹底拋棄了以前定義中解析式的束縛，特別突出了函式概念的本質——對應思想。
函式論
函式論的研究有悠久的歷史，早在18世紀歐拉 (L. Euler，1707～1783) 首先整理了關於本學科的幾 乎所有文獻。拉格朗日 (J.L.Lagrange，1736～ 1813) 域圖以冪級數理論為基礎來建立函式論的整 個體系。然而，那時所得到的許多理論結果仍不成 熟。直到柯西 (A.L.Cauchy，1789～1857) 發現並 系統地建立了復圍道積分的概念; 黎曼 (B. Riemann，1826～1865) 進一步完善了柯西的理論，並開創了複變函數幾何理論的研究; 維爾斯托拉 斯 (K.Weierstrass，1815～1897) 將函式論加以數學化，這一系列的工作使得函式論建立了較完整的體 系。康托 (G.Cantor，1845～1918) 的總集論簡化了函式論的論述，並得到了一些新的重要發現，導致 了複變函數基本理論的成熟。進入本世紀以來，函式 論的研究得到了進一步的發展，70年代我國數學家 楊樂、張廣厚在整函式與亞純函式的值分布理論的研究中取得了一系列令世人矚目的結果。1984年布仁 傑斯 (de Branges) 證明了著名的比伯巴赫 (Bieberbach) 猜想，這是本世紀數學研究最重要的成果之一。孕育在本世紀初並且受到單複變函數理論 深刻影響的多複變函數理論在近幾十年也有了較快的發展，逐步成長為一個非常活躍的數學研究領域。
函式論的研究內容十分廣泛，主要包括：①單複變函數的理論研究。包括單葉函式的各種極值問題、 整函式亞純函式的值分布理論、H空間理論、擬共形映照、特殊類單葉函式、黎曼曲面與位相及幾何理論的聯繫、廣義解析函式及邊值問題在偏微分方程與 奇異積分方程中的套用等。②多複變函數的現論研究。包括多複變函數的積分表示和邊界性質、尋找更 一般的柯西公式及柯西型積分的邊界性質、多復變解 析函式映照與域的分類、多複變函數的值分布理論、 多複變函數的零點與奇點問題及複流形與復空間的研究等。
當前函式論的探討日趨活躍，其它相關學科對函式論日益提高的要求，賦予函式論研究強大的生命力，展示了函式論研究的廣闊前景。
