序數乘法

序數乘法(multiplication of ordinals)是序數的一種運算，對任意序數α，β，γ，有：1.α·0=0；2.α·β⁺=(α·β)+α；3.α·γ=sup{α·β|β<γ}，當γ為極限序數時。

基本介紹

• 中文名：序數乘法
• 外文名：multiplication of ordinals
• 所屬學科：數學
• 簡介：序數的一種運算

序數乘法的定義

兩個序數α和β的積αβ可以定義為序列的和，其中對於一切有。有窮個序數序列的積，顯然可以用迭代法定義，但是我們也可以採取不同的定義方法．設是有窮個序數序列，P是集合的卡氏積，對於P中任何兩個不同的元素f和g，我們說，f<g若且唯若存在i∈n使得，且當一切j>i時有，這時P按上述關係是良序的，從而可以定義積為Ord(P)。

不難看出，兩種方法總是給出同一結果。對此，只須驗證：族(這裡對於一切，)的分離並和附有序關係的族(這裡)的卡氏積是同構良序集。

序數乘法的性質

序數乘法有下列性質：對任意序數α，β，γ，有：

1.α·(β·γ)=(α·β)·γ.

2.α·(β+γ)=α·β+α·γ.

3.α·β<α·γ(β<γ∧α≠0).

4.α·β=α·γ(β=γ∧α≠0).

5.α<βα·γ≤β·γ.

6.α·γ<β·γα<β.

7.α≠0∧β≠0αβ≠0.

序數的乘法不滿足交換律，例如，我們有

和

而

且

這裡，由h(i，n)=2n+i定義的是一個同構映射，所以而ω與ω2中前於(0，1)的真前節ω×{0}同構。

又例如，3·ω=ω<ω·3。