幾何分布

幾何分布（Geometric distribution）是離散型機率分布。其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細地說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的機率。幾何分布是帕斯卡分布當r=1時的特例。

在伯努利試驗中，成功的機率為p，若ξ表示出現首次成功時的試驗次數，則ξ是離散型隨機變數，它只取正整數，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0<p<1)，此時稱隨機變數ξ服從幾何分布。它的期望為1/p，方差為(1-p)/(p的平方)。

基本介紹

• 中文名：幾何分布
• 外文名：Geometric distribution
• 表達式：X ~ GE(p)
• 套用學科：數學以及相關領域
• 適用領域範圍：自然數學，套用數學
• 適用領域範圍：高等數學，機率論

定義

在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發生的機率為p，試驗進行到事件A出現時停止，此時所進行的試驗次數為X，其分布列為：

此分布列是幾何數列的一般項，因此稱X服從幾何分布，記為X ～ GE(p) 。

實際中有不少隨機變數服從幾何分布，譬如，某產品的不合格率為0.05，則首次查到不合格品的檢查次數X ～ GE(0.05) 。

分類

它分兩種情況：

（1）為得到1次成功而進行n次伯努利試驗，n的機率分布，取值範圍為1，2，3，...；

這種情況的期望和方差如下：

（2）m = n-1次失敗，第n次成功，m的機率分布，取值範圍為0，1，2，3，...。

這種情況的期望和方差如下：

比如，假設不停地擲骰子，直到得到1。投擲次數是隨機分布的，取值範圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... }，並且是一個p= 1/6的幾何分布。

參數p的幾何分布

機率為p的事件A，以X記A首次發生所進行的試驗次數，則X的分布列：

，

具有這種分布列的隨機變數X，稱為服從參數p的幾何分布，記為X~Geo(p)。

幾何分布的期望 ，方差 。

幾何分布的推廣

推廣1

現進行如下試驗，在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發生的機率為p，試驗進行到事件A和都出現後停止，此時所進行的試驗次數為X，則有：

其中，q=1-p，k=2，3，...。

因此，上式可以成為一個分布列，此分布列是兩個幾何數列一般項的和，在這裡稱X服從兩事件下推廣的幾何分布，記為X ～ PGE(2；p) ，數學期望為：。當P =時，E(X) 取最小值，此時E(X)= 3．

由於，因此可以得到：

推廣2

現進行獨立重複試驗，每次試驗會有三個事件A、B、C中的其中一個發生，記每次試驗中事件A、B、C發生的機率分別為，且 。試驗進行到事件A、B、C都發生後停止，此時所進行的試驗次數為X，則有：

其中，k=3，4，...。因此上式也可以作為一個分布列，此分布列是六個幾何數列一般項的和與差，稱X服從三事件下推廣的幾何分布，記為X ～ PGE(3；)。數學期望為：

容易驗證，當時，E(X)有最小值，此時E(X)=5.5。